Diagnostics numériques : OFV, AIC, BIC, χ²

Racym Berrah, PharmD PMx Explain Relecture scientifique par l'auteur : 2026-07-09 ORCID

Comparer deux modèles objectivement : fonction objective, test du rapport de vraisemblance et critères pénalisés.

01 · Pourquoi ce chapitre

Les graphiques disent comment un modèle se trompe ; les diagnostics numériques disent lequel de deux modèles choisir. Ils reposent tous sur une même quantité : la vraisemblance des données sous le modèle.

Sans eux, on empilerait des paramètres à l'infini. Avec eux, on arbitre entre ajustement et parcimonie.

02 · Intuition

La fonction objective (OFV = $-2\log L$ ) mesure la « surprise » des données : plus elle est basse, plus le modèle rend les observations probables.

Problème : dans un problème de maximum de vraisemblance emboîté idéal, au maximum global, ajouter un paramètre ne peut que baisser ou égaler l'OFV. En NLME numérique, convergence, approximations et paramètres aux frontières peuvent casser cette lecture simple. Il faut donc un juge qui demande : la baisse est-elle plus grande que le hasard ? Et vaut-elle la complexité ajoutée ?

03 · La formule décortiquée

Pour deux modèles emboîtés (l'un est un cas particulier de l'autre), le test du rapport de vraisemblance compare la baisse d'OFV à une loi du χ² :

\Delta OFV = OFV_{\text{réduit}} - OFV_{\text{complet}} \;\sim\; \chi^2_{\Delta df} \quad (\text{sous } H_0)

Comment la lire

La métaphore du procès. $H_0$ = « le paramètre en plus ne sert à rien » (présumé coupable d'inutilité). Le χ² fixe le seuil du doute raisonnable (3,84 pour 1 paramètre à 5 %) sous ses conditions de régularité. Si la baisse d'OFV dépasse ce seuil, les preuves statistiques soutiennent le paramètre ; il faut encore vérifier convergence, frontières, diagnostics et pertinence scientifique.

Côté maths. 1 paramètre ⇒ seuil $\chi^2_{1,,0{,}05}=3{,}84$ ; 2 ⇒ 5,99 ; 3 ⇒ 7,81. Pour des modèles non emboîtés, le χ² ne s'applique pas : on utilise alors les critères pénalisés

AIC = OFV + 2k, \qquad BIC = OFV + k\ln(n)

où $k$ = nombre de paramètres et $n$ = nombre d'observations. Le plus bas est préféré pour cette comparaison, mais ne remplace ni les diagnostics ni la pertinence scientifique ; le BIC pénalise plus fort quand $n$ est grand.

04 · Exemple concret

Warfarine : ajouter un temps de latence (1 paramètre) fait chuter l'OFV de plusieurs dizaines de points — bien au-delà de 3,84 : le Tlag est clairement justifié, et l'AIC/BIC le confirment.

À l'inverse, passer à 2 compartiments peut baisser l'OFV un peu, mais pas assez pour compenser la pénalité : l'AIC remonte — plus complexe n'est pas meilleur.

05 · Piège fréquent

L'OFV ne se compare pas n'importe comment.

06 · À retenir

OFV = −2 log L ; plus bas = données plus vraisemblables.
Modèles emboîtés : ΔOFV ~ χ² seulement sous conditions ; seuil 3,84 pour 1 ddl à 5 % si les hypothèses du LRT tiennent.
Modèles non emboîtés : AIC = OFV + 2k, BIC = OFV + k·ln(n) ; le plus bas est préféré, sans remplacer diagnostics et plausibilité.
Comparer sur les mêmes données ; les nombres complètent, ne remplacent pas, les graphiques.

Point de contrôle

Vérifiez votre compréhension

Q1. La fonction objective (OFV = −2 log L) d'un bon modèle est...

Q2. Ajouter un paramètre fait toujours...

Q3. Le test du rapport de vraisemblance (ΔOFV ~ χ²) s'applique...

Exercices d'entraînement

Activités guidées

Cas en plusieurs étapes combinant calcul, interprétation et raisonnement.

Activité guidée · 10 min · Niveau 2

OFV plus bas, AIC plus haut

Calcul · InterprétationÀ commencer

Calculs

Problèmes numériques courts avec unités et correction immédiate.

Calcul

Un modèle a OFV = 420 et k = 6 paramètres. Quel est son AIC (= OFV + 2k) ?

Citer cette page

Berrah R. Diagnostics numériques : OFV, AIC, BIC, χ². PMx Explain, 2026. https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/valid-objective/

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