Les algorithmes d'estimation : FOCE et SAEM

Racym Berrah, PharmD PMx Explain Relecture scientifique par l'auteur : 2026-07-09 ORCID

Pourquoi la vraisemblance des modèles à effets mixtes est difficile, et comment FOCE et SAEM la résolvent.

01 · Pourquoi ce chapitre

Estimer un modèle de population, c'est maximiser sa vraisemblance. Mais pour un modèle à effets mixtes non linéaire, cette vraisemblance n'a pas de forme close : elle contient une intégrale sur les effets aléatoires de chaque patient.

Deux grandes stratégies contournent ce mur : linéariser (FOCE) ou simuler (SAEM). Comprendre la différence éclaire tout le comportement des logiciels.

02 · Intuition

Le problème : pour un patient, on ne connaît pas ses effets aléatoires $\eta_i$ ; il faut « intégrer » sur toutes leurs valeurs possibles.

FOCE remplace la courbe du modèle par sa tangente autour de la meilleure estimation individuelle : l'intégrale devient gaussienne, calculable.
SAEM ne triche pas sur la forme : il tire au sort des valeurs plausibles de $\eta_i$ et fait converger les paramètres par moyennes successives.

03 · La formule décortiquée

La vraisemblance à maximiser :

L(\theta) = \prod_i \int p(y_i \mid \eta_i, \theta)\, p(\eta_i \mid \theta)\; d\eta_i

L'intégrale (sur $\eta_i$ ) n'a pas de solution analytique dès que le modèle $f$ est non linéaire en $\eta_i$ . C'est là que FOCE et SAEM divergent.

04 · FOCE : la linéarisation

FOCE-I (First-Order Conditional Estimation with Interaction) fait un développement de Taylor au 1ᵉʳ ordre du modèle autour des effets individuels estimés $\hat\eta_i$ (le mode a posteriori de chaque patient) :

f(\eta_i) \approx f(\hat\eta_i) + \left.\frac{\partial f}{\partial \eta}\right|_{\hat\eta_i}(\eta_i - \hat\eta_i)

Conditional : on linéarise autour du $\hat\eta_i$ de chaque patient (pas autour de 0 comme la vieille méthode « FO »).
Interaction : on tient compte du fait que l'erreur résiduelle dépend de la prédiction individuelle.

05 · SAEM : la simulation

SAEM (Stochastic Approximation Expectation-Maximization) est un algorithme EM pour variables latentes (ici les $\eta_i$ ), en deux temps répétés :

E (simulation) : comme la loi $p(\eta_i \mid y_i, \theta)$ est intraitable, on en tire des échantillons par MCMC (au lieu de calculer une espérance) ;
M (maximisation) : on met à jour $\theta, \Omega, \Sigma$ à partir de ces $\eta_i$ simulés.

L'approximation stochastique lisse le bruit des tirages avec un pas décroissant $\gamma_k$ (Robbins-Monro) :

s_{k+1} = s_k + \gamma_k\big(S(\eta^{(k)}) - s_k\big)

06 · Exemple concret

Sur un modèle simple, FOCE-I et SAEM donnent quasiment les mêmes estimations : la linéarisation est fidèle.

Sur un modèle difficile (Emax raide, TMDD, données très éparses), FOCE-I peut diverger ou biaiser les estimations, alors que SAEM peut rester exploitable — d'où sa popularité croissante. Cela ne dispense pas de vérifier la convergence.

07 · Piège fréquent

Deux nombres appelés « OFV » ne se comparent pas aveuglément.

08 · À retenir

La vraisemblance NLME = une intégrale sur les effets aléatoires, sans forme close.
FOCE : linéarise autour des η̂ individuels — rapide, approximatif, historique (NONMEM).
SAEM : simule les η (E) puis met à jour les paramètres (M) — approximation stochastique du ML, souvent robuste (Monolix).
OFV : ne jamais comparer deux valeurs sans vérifier données, définition, approximation, constantes et conventions ; convergence ≠ bon modèle.

Point de contrôle

Vérifiez votre compréhension

Q1. La vraisemblance d'un modèle NLME est difficile car...

Q2. FOCE approxime la vraisemblance en...

Q3. SAEM évite la linéarisation en...

Exercices d'entraînement

Activités guidées

Cas en plusieurs étapes combinant calcul, interprétation et raisonnement.

Activité guidée · 10 min · Niveau 2

Comparer des résultats de moteurs

Calcul · Décision · InterprétationÀ commencer

Citer cette page

Berrah R. Les algorithmes d'estimation : FOCE et SAEM. PMx Explain, 2026. https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/tools-algorithms/

@misc{berrah2026toolsalgorithms,
  author       = {Berrah, Racym},
  title        = {{Les algorithmes d'estimation : FOCE et SAEM}},
  howpublished = {PMx Explain},
  year         = {2026},
  url          = {https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/tools-algorithms/},
  note         = {Texte actuel sous licence CC BY-NC-SA 4.0}
}