Estimation bayésienne

Racym Berrah, PharmD PMx Explain Mise à jour : 2026-10-09 Relecture scientifique par l'auteur : 2026-10-09 ORCID

Combiner une connaissance a priori et des données : le théorème de Bayes, du prior au posterior.

01 · Pourquoi ce chapitre

En pharmacométrie, on connaît déjà beaucoup avant de voir un patient : la population nous dit à quoi ressemblent une clairance ou un volume « typiques ». L'estimation bayésienne formalise la façon de mettre à jour cette connaissance avec les quelques mesures du patient.

C'est le socle mathématique du TDM bayésien (suivi thérapeutique), des EBE (estimations des paramètres individuels) et du MIPD (dosage de précision guidé par modèle).

02 · Intuition

Partez d'une croyance a priori (le patient ressemble à la population). Chaque mesure déplace cette croyance : peu de données → on reste proche du prior ; beaucoup de données → on suit les observations.

Le résultat, le posterior, est un compromis pondéré entre les deux. Ajoutez des points et regardez la distribution se resserrer.

03 · La formule décortiquée

Le théorème de Bayes relie ces trois ingrédients :

p(\theta \mid y) \;=\; \frac{p(y \mid \theta)\,p(\theta)}{p(y)} \;\propto\; \underbrace{p(y \mid \theta)}_{\text{vraisemblance}}\;\underbrace{p(\theta)}_{\text{prior}}

Comment la lire

La métaphore du pile ou face. Vous croyez une pièce équilibrée (prior : 50/50). Vous la lancez 10 fois, vous obtenez 8 faces (données). Vous ne concluez ni « 50 % » (ce serait ignorer les données), ni « 80 % » (ce serait ignorer votre a priori) : vous vous arrêtez entre les deux — d'autant plus près de 80 % que vous aviez peu de convictions et beaucoup de lancers.

Côté maths. Lisez la formule de droite à gauche : on part du prior $p(\theta)$ (ce qu'on croit avant), on le multiplie par la vraisemblance $p(y\mid\theta)$ (à quel point cette valeur de $\theta$ rend les données observées probables), et le dénominateur $p(y)$ ne fait que renormaliser pour obtenir une vraie probabilité. Le posterior $p(\theta\mid y)$ est donc le prior « corrigé » par les données.

Dans le cas gaussien conjugué, le posterior reste gaussien et sa moyenne est une moyenne pondérée par les précisions (inverses des variances) :

\hat\theta = \frac{\tau_0\,\mu_0 + \tau_d\,\bar y}{\tau_0 + \tau_d}, \qquad \tau_0 = 1/\sigma_0^2,\quad \tau_d = n/\sigma_d^2

Ici, $au_d=n/\sigma_d^2$ si $ar y$ résume $n$ observations indépendantes de variance connue $sigma_d^2$ ; avec une seule observation, $au_d=1/\sigma_d^2$ .

04 · Exemple concret

Un patient a une clairance a priori de 5 L/h (population). À dose et temps de prélèvement comparables, une concentration mesurée un peu plus basse que la prédiction populationnelle déplace l'estimation vers une clairance plus élevée, par exemple ~6 L/h — sans croire aveuglément à une seule mesure bruitée.

Avec deux ou trois prélèvements concordants, le posterior se resserre et s'éloigne franchement du prior : c'est exactement l'ajustement de dose bayésien.

05 · Piège fréquent

Le prior n'est pas neutre.

06 · À retenir

Bayes : posterior ∝ vraisemblance × prior — on met à jour une croyance avec les données.
Cas gaussien : le posterior est une moyenne pondérée par les précisions.
L'estimation MAP = sommet du posterior = base des EBE et du TDM bayésien.
Données pauvres → rétrécissement vers le prior (shrinkage) : à surveiller.

Point de contrôle

Vérifiez votre compréhension

Q1. Le théorème de Bayes combine...

Q2. L'estimation MAP (maximum a posteriori) retient...

Q3. Quand les données individuelles sont peu informatives, l'estimation bayésienne...

Exercices d'entraînement

Activités guidées

Cas en plusieurs étapes combinant calcul, interprétation et raisonnement.

Activité guidée · 10 min · Niveau 2

Une mesure peu précise et un prior

Calcul · InterprétationÀ commencer

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Berrah R. Estimation bayésienne. PMx Explain, 2026. https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/math-bayes/

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