Matrice d'information de Fisher et design optimal

Racym Berrah, PharmD PMx Explain Relecture scientifique par l'auteur : 2026-07-09 ORCID

Combien d'information un protocole apporte-t-il ? La FIM relie design, précision et nombre de prélèvements.

01 · Pourquoi ce chapitre

Avant de lancer une étude, une question cruciale : où et quand prélever pour estimer les paramètres avec précision, sans gaspiller de prélèvements ? La matrice d'information de Fisher (FIM) répond quantitativement.

C'est le fondement du design optimal de protocoles (échantillonnage clairsemé, populations fragiles).

02 · Intuition

Certains temps de prélèvement sont très informatifs (la phase d'élimination pour la pente), d'autres presque inutiles (deux points collés).

Plus l'information est grande, plus la « vallée » de la vraisemblance est étroite autour de l'optimum → estimation précise. La FIM mesure cette courbure.

03 · La formule décortiquée

La FIM est l'espérance de la courbure de la log-vraisemblance :

I(\theta) = -\,\mathbb{E}\!\left[\frac{\partial^2 \log L}{\partial\theta\,\partial\theta^\top}\right]

La borne de Cramér-Rao en découle : pour tout estimateur non biaisé,

\mathrm{Var}(\hat\theta) \ge I(\theta)^{-1}

Les erreurs standards (et donc les RSE %) s'obtiennent de $\sqrt{\text{diag}(I^{-1})}$ . Un design optimal (critère D-optimalité) maximise $\det I(\theta)$ .

04 · Exemple concret

Pour un modèle mono-compartimental, la FIM indique que placer un prélèvement précoce (absorption/pic) et un tardif (pente d'élimination) estime mieux $CL$ et $V$ que trois points au milieu.

En pédiatrie, où chaque prélèvement compte, PFIM permet de concevoir un protocole à 2–3 points qui reste informatif.

05 · Piège fréquent

La FIM prédit la précision, pas l'exactitude.

06 · À retenir

La FIM relie le design (temps, doses, nombre de sujets) à la précision d'estimation.
Cramér-Rao : Var(θ̂) ≥ I(θ)⁻¹ ; les RSE viennent de √diag(I⁻¹).
Le design D-optimal maximise det(I) → prélèvements aux temps informatifs (PFIM, IAME).
La FIM suppose le modèle vrai : précision ≠ exactitude.

Point de contrôle

Vérifiez votre compréhension

Q1. La matrice d'information de Fisher (FIM) sert à...

Q2. La borne de Cramér-Rao dit que la variance d'un estimateur non biaisé est...

Q3. Un design optimal cherche à...

Exercices d'entraînement

Activités guidées

Cas en plusieurs étapes combinant calcul, interprétation et raisonnement.

Activité guidée · 10 min · Niveau 2

Deux plans, deux matrices d’information

Calcul · InterprétationÀ commencer

Citer cette page

Berrah R. Matrice d'information de Fisher et design optimal. PMx Explain, 2026. https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/math-fisher/

@misc{berrah2026mathfisher,
  author       = {Berrah, Racym},
  title        = {{Matrice d'information de Fisher et design optimal}},
  howpublished = {PMx Explain},
  year         = {2026},
  url          = {https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/math-fisher/},
  note         = {Texte actuel sous licence CC BY-NC-SA 4.0}
}