Équations différentielles et exponentielles

Racym Berrah, PharmD PMx Explain Relecture scientifique par l'auteur : 2026-07-09 ORCID

Pourquoi dA/dt = −k·A donne une décroissance exponentielle — la brique de tout modèle PK.

01 · Pourquoi ce chapitre

Tous les modèles PK sont des équations différentielles : elles décrivent comment une quantité change au cours du temps. Comprendre l'objet dA/dt démystifie le reste du cours.

Pas besoin d'être mathématicien : il suffit de lire une équation différentielle comme une phrase sur des vitesses.

02 · Intuition

Une équation différentielle relie une grandeur à sa vitesse de variation.

En PK d'ordre 1, la vitesse de sortie est proportionnelle à ce qui reste : plus il y a de médicament, plus il en part par unité de temps. Résultat : une décroissance exponentielle.

03 · La formule décortiquée

La brique de base :

\frac{dA}{dt} = -k\,A \quad\Longrightarrow\quad A(t) = A_0\,e^{-k t}

Deux lectures utiles :

la demi-vie $t_{1/2} = \ln(2)/k$ ne dépend que de $k$ ;
en échelle semi-log, $\ln A(t) = \ln A_0 - k,t$ devient une droite de pente $-k$ .

04 · Exemple concret

Quand il y a plusieurs compartiments, la solution est une somme d'exponentielles :

C(t) = A\,e^{-\alpha t} + B\,e^{-\beta t}

Chaque exponentielle est une « phase » (distribution rapide α, élimination lente β). Passez la figure en semi-log : les deux pentes apparaissent.

05 · Piège fréquent

Ne confondez pas décroissance exponentielle et linéaire.

06 · À retenir

Une EDO relie une grandeur à sa vitesse de variation.
Ordre 1 : $dA/dt = -k A \Rightarrow A(t)=A_0 e^{-kt}$ , demi-vie $\ln2/k$ .
L'échelle semi-log linéarise une exponentielle ; plusieurs segments suggèrent plusieurs phases, sans prouver à eux seuls le nombre de compartiments.
Modèle multi-compartimental = somme d'exponentielles.

Point de contrôle

Vérifiez votre compréhension

Q1. La solution de dA/dt = −k·A est...

Q2. Sur une échelle semi-logarithmique, une décroissance d'ordre 1 apparaît...

Exercices d'entraînement

Activités guidées

Cas en plusieurs étapes combinant calcul, interprétation et raisonnement.

Activité guidée · 10 min · Niveau 2

Un pas numérique face à la solution exacte

Calcul · InterprétationÀ commencer

Calculs

Problèmes numériques courts avec unités et correction immédiate.

Calcul

dA/dt = −k·A avec A₀ = 100 mg et k = 0,10 /h. Quelle quantité reste-t-il à t = 10 h ?

Citer cette page

Berrah R. Équations différentielles et exponentielles. PMx Explain, 2026. https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/math-edo/

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