Copules et covariables corrélées

Racym Berrah, PharmD PMx Explain Relecture scientifique par l'auteur : 2026-10-12 ORCID

Séparer les lois marginales de leur dépendance : simuler des covariables réalistes avec les copules.

01 · Pourquoi ce chapitre

Pour simuler des essais ou des patients virtuels, il faut générer des covariables réalistes. Or poids, taille, ClCr, âge sont corrélés : les tirer indépendamment produit trop souvent des individus rares ou incohérents.

Les copules permettent de reproduire la dépendance observée tout en gardant les bonnes lois marginales.

02 · Intuition

L'idée clé : séparer deux questions. (1) Comment se distribue chaque covariable seule (sa marge) ? (2) Comment sont-elles liées entre elles (la dépendance) ?

Une copule ne décrit que la seconde. Faites varier la corrélation : les lois marginales théoriques restent inchangées et seul le lien change. Dans un échantillon simulé fini, les histogrammes empiriques peuvent néanmoins varier légèrement par fluctuation d'échantillonnage.

03 · La formule décortiquée

Le théorème de Sklar décompose toute loi jointe $F$ :

F(x_1,\dots,x_d) = C\big(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d)\big)

où $C$ est la copule (une loi jointe à marges uniformes) et $F_j$ les marges. La copule gaussienne se construit à partir d'une corrélation $\rho$ :

u_j = \Phi(z_j),\quad z \sim \mathcal{N}(0,\Sigma),\quad x_j = F_j^{-1}(u_j)

04 · Exemple concret

Pour un VPC ou une simulation d'essai, on veut des patients dont poids et ClCr covarient comme dans la vraie population. Une copule gaussienne calée sur les données limite les combinaisons peu plausibles, comme un sujet de 45 kg avec une ClCr de 160 mL/min.

Des copules non gaussiennes (Clayton, Gumbel) capturent des dépendances de queue (co-occurrence d'extrêmes).

05 · Piège fréquent

La corrélation linéaire ne dit pas tout.

06 · À retenir

Une copule sépare les marges (chaque covariable) de la dépendance (leur lien).
Théorème de Sklar : loi jointe = marges + copule.
Utile pour simuler des covariables réalistes (VPC, essais virtuels) avec moins de combinaisons rares ou incohérentes.
La copule gaussienne ignore les dépendances de queue ; choisir la famille adaptée.

Point de contrôle

Vérifiez votre compréhension

Q1. Une copule décrit...

Q2. Pour simuler des patients virtuels réalistes, ignorer la corrélation poids–ClCr...

Q3. Le théorème de Sklar affirme qu'une loi jointe se décompose en...

Exercices d'entraînement

Activités guidées

Cas en plusieurs étapes combinant calcul, interprétation et raisonnement.

Activité guidée · 10 min · Niveau 2

Marges identiques, dépendance différente

Calcul · InterprétationÀ commencer

Citer cette page

Berrah R. Copules et covariables corrélées. PMx Explain, 2026. https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/math-copula/

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