Sous-groupes cachés : clustering, PCA et RMT

Racym Berrah, PharmD PMx Explain Relecture scientifique par l'auteur : 2026-10-09 ORCID

Découvrir des phénotypes dans les paramètres individuels — clustering (k-means/kNN), réduction de dimension (PCA) et tri signal/bruit (RMT).

1 activités guidées

01 · Pourquoi ce chapitre

Après avoir estimé un modèle de population, on obtient les paramètres individuels de chaque patient (les EBE : clairance, volume…). Ces paramètres sont une mine : parfois, un sous-groupe non prévu s'y cache — par exemple la clairance qui dépend du type de cancer.

Trois outils pour l'explorer : le clustering (regrouper sans étiquette), la PCA (analyse en composantes principales, pour visualiser en 2D), et la RMT (théorie des matrices aléatoires, pour repérer des composantes incompatibles avec un modèle de bruit simple).

02 · Intuition

Tracez les paramètres individuels et colorez par type de cancer : si les nuages se séparent, c'est qu'un paramètre varie selon le groupe.

Un algorithme de clustering fait l'inverse : il regroupe les points sans connaître le type, à partir de leur seule position. Quand la séparation est nette, il peut retrouver les cancers — un argument pour une structure à confirmer, pas une preuve biologique à lui seul.

03 · La formule décortiquée

Le k-means partitionne en $k$ groupes en minimisant la distance intra-cluster :

\min \sum_{i} \lVert x_i - \mu_{c(i)} \rVert^2

où $\mu_c$ est le centroïde du cluster $c$ . Le kNN (k plus proches voisins) sert plutôt à classer un nouveau patient d'après ses voisins, ou à bâtir un graphe de similarité.

04 · La réduction de dimension (PCA)

Avec beaucoup de paramètres (CL, V, Ka, Q, Tlag…), on ne peut pas tout tracer. La PCA projette les données sur les directions de plus grande variance :

\text{PC}_1, \text{PC}_2 = \text{vecteurs propres de la covariance, par variance décroissante}

On visualise alors les patients dans le plan (PC₁, PC₂) — souvent 2–3 composantes suffisent à capturer l'essentiel de la variance, et les sous-groupes y apparaissent.

05 · Signal ou bruit ? (RMT)

Problème : avec peu de patients et beaucoup de paramètres, des corrélations apparaissent par pur hasard. Comment repérer les composantes incompatibles avec un modèle nul explicite ? La Random Matrix Theory fournit un repère, sous ses hypothèses.

Sous l'hypothèse « tout est bruit », les valeurs propres de la matrice de corrélation suivent la loi de Marchenko-Pastur, bornée par :

\lambda_{\pm} = \left(1 \pm \sqrt{p/n}\right)^2

Comment la lire

La métaphore du brouhaha. Dans une salle bruyante, le modèle nul décrit le bruit de fond attendu (le spectre de Marchenko-Pastur). Une conversation peut dépasser ce fond : de même, une valeur propre au-dessus de $\lambda_+$ est incompatible avec le spectre attendu sous ce modèle et ses hypothèses. Cela désigne une composante à examiner, sans démontrer une causalité, une corrélation « vraie » ou une réalité biologique.

Côté maths. Le seuil $\lambda_+$ dépend du rapport $p/n$ et des hypothèses du modèle nul (variables centrées, bruit idéal, indépendance approximative). Plus on a de patients ( $n$ grand), plus le fond de bruit se resserre. On peut ainsi proposer un « nettoyage » de la matrice de corrélation, à valider par stabilité et sens biologique.

06 · Exemple concret

En oncologie, on modélise un médicament sur plusieurs cancers. En regroupant les clairances individuelles, on découvre trois nuages correspondant aux types de tumeur : la CL est plus basse dans l'un, plus haute dans l'autre.

Conclusion pratique : le résultat peut motiver l’évaluation du type de cancer comme covariable sur la clairance. Le clustering génère une hypothèse ; l’OFV, la VPC, la stabilité, le shrinkage et une validation externe éventuelle apportent ensuite des éléments convergents, sans établir à eux seuls un mécanisme causal.

07 · Piège fréquent

Un algorithme de clustering trouve toujours des clusters.

08 · À retenir

Les paramètres individuels (EBE) peuvent révéler des sous-groupes non prévus (ex. CL selon le type de cancer).
Clustering (k-means) pour regrouper sans étiquette ; kNN pour classer ; toujours standardiser.
PCA : réduire la dimension en gardant les directions de plus grande variance, pour visualiser.
RMT : au-dessus de λ₊ = signal statistique possible sous les hypothèses du modèle nul, pas preuve biologique ; plus de patients stabilise le seuil.
Le clustering génère des hypothèses ; le modèle (covariable + OFV/VPC) les valide.

Point de contrôle

Vérifiez votre compréhension

Q1. Regrouper les paramètres individuels (EBE) par type de cancer peut révéler...

Q2. La PCA (analyse en composantes principales) sert à...

Q3. En RMT (Random Matrix Theory), une valeur propre au-dessus du seuil λ₊ de Marchenko-Pastur indique...

Exercices d'entraînement

Activités guidées

Cas en plusieurs étapes combinant calcul, interprétation et raisonnement.

Activité guidée · 10 min · Niveau 2

Calculer un voisinage après standardisation

Calcul · InterprétationÀ commencer

Citer cette page

Berrah R. Sous-groupes cachés : clustering, PCA et RMT. PMx Explain, 2026. https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/ai-clustering/

@misc{berrah2026aiclustering,
  author       = {Berrah, Racym},
  title        = {{Sous-groupes cachés : clustering, PCA et RMT}},
  howpublished = {PMx Explain},
  year         = {2026},
  url          = {https://rberrah.github.io/pharmacometrie/chapitres/ai-clustering/},
  note         = {Texte actuel sous licence CC BY-NC-SA 4.0}
}