Analyse de survie : Kaplan-Meier et test du log-rank

Un patient est censuré lorsqu'on ignore la date de son événement, tout en sachant qu'il ne s'était pas produit jusqu'à une certaine date. Le cas le plus fréquent est la censure à droite : le suivi s'arrête (fin d'étude, perte de vue) avant l'événement.

Exemple. Un patient inclus, suivi 18 mois, toujours vivant à la clôture de l'étude : il est censuré à 18 mois. On ne sait pas quand il mourra — mais on sait qu'il a vécu au moins 18 mois, et cette information est précieuse.

Une condition importante : la censure doit être non informative — la raison pour laquelle un patient quitte l'étude ne doit pas être liée à son risque de décès. Sinon, un biais de sélection (chapitre G-6) s'installe.

La grandeur centrale est la fonction de survie $S(t)$ : la probabilité d'être encore sans événement au-delà de l'instant $t$.

où $T$ est la durée jusqu'à l'événement. Elle vaut $1$ au départ (tout le monde est en vie à $t=0$) et décroît vers $0$. Ce n'est pas un chiffre unique mais une courbe : elle raconte l'histoire du pronostic au fil du temps, pas seulement à un instant choisi.

L'estimateur de Kaplan-Meier construit $S(t)$ marche après marche. À chaque date où survient au moins un événement, la survie est multipliée par la proportion de survivants parmi ceux encore « à risque » juste avant :

où $d_i$ est le nombre d'événements à la date $t_i$ et $n_i$ le nombre de sujets à risque juste avant. Les patients censurés restent comptés dans $n_i$ jusqu'à leur censure, puis en sortent sans faire chuter la courbe.

Mini-exemple. 10 patients à l'inclusion. À 4 mois, 1 décès : $\hat{S} = 1 \times (1 - \tfrac{1}{10}) = 0{,}90$. Entre 4 et 9 mois, 1 patient est censuré (il reste 8 à risque). À 9 mois, 1 décès : $\hat{S} = 0{,}90 \times (1 - \tfrac{1}{8}) = 0{,}79$.

Plutôt qu'une moyenne (impossible à calculer tant que des patients survivent), on résume la courbe par la médiane de survie : le temps où $\hat{S}(t)$ franchit 0,50, c'est-à-dire l'instant où la moitié des sujets ont connu l'événement.

On la lit graphiquement en traçant une horizontale à 0,50 jusqu'à la courbe, puis en descendant sur l'axe des temps. Avantage majeur : elle est estimable dès que la courbe passe sous 50 %, même si beaucoup de patients sont encore vivants.

Pour savoir si deux groupes (traité vs témoin, par exemple) diffèrent, on ne compare pas seulement la survie à un instant : cela gaspillerait l'information et dépendrait du point choisi. Le test du log-rank compare les courbes entières.

Son principe : à chaque date d'événement, on calcule le nombre de décès attendus dans chaque groupe si les deux avaient le même risque (proportionnellement aux sujets encore à risque). On cumule sur toutes les dates l'écart entre décès observés et attendus. La statistique suit approximativement un $\chi^2$ à 1 degré de liberté :

Un exemple chiffré simplifié : cumulés sur le suivi, le groupe traité totalise $O_1 = 12$ décès observés pour $E_1 = 18{,}5$ attendus (moins que prévu → il survit mieux). Avec une variance $V \approx 7{,}0$, on obtient $\chi^2 \approx (12-18{,}5)^2 / 7{,}0 \approx 6{,}0$, au-delà du seuil 3,84 : la différence est significative ($p < 0{,}05$).

• La survie n'est pas un simple pourcentage : la censure (suivi incomplet) impose d'exploiter chaque patient à hauteur du temps observé.
• Un sujet censuré apporte une information partielle (« sans événement jusqu'à tel jour ») ; la censure doit être non informative.
• La fonction de survie $S(t) = P(T > t)$ est une courbe, estimée en escalier par Kaplan-Meier ; les censures y font des traits, pas des marches.
• La médiane de survie est le temps où $\hat{S}(t)$ atteint 0,50 ; elle peut être « non atteinte » si la courbe reste haute.
• Le test du log-rank compare deux courbes entières (observés vs attendus cumulés) et suit un $\chi^2$ ; il dit s'il y a une différence, pas de combien.