La courbe ROC et le choix d'un seuil

Suivons les effets d'un déplacement du seuil.

• Seuil bas : on déclare positif au moindre signe. On attrape presque tous les malades (Se élevée), mais on classe aussi beaucoup de sains en positifs (Sp faible, beaucoup de faux positifs).
• Seuil haut : on n'est positif qu'en cas de valeur franchement anormale. On rassure à juste titre les sains (Sp élevée), mais on rate des malades aux valeurs modérées (Se faible).

Un mini-tableau sur notre marqueur illustre l'arbitrage :

Seuil	Sensibilité	Spécificité
Bas (2,0)	98 %	55 %
Moyen (3,5)	88 %	85 %
Haut (5,0)	60 %	97 %

On ne peut pas maximiser les deux à la fois : gagner en Se coûte de la Sp, et réciproquement. Le bon seuil dépend de ce que l'on redoute le plus.

La courbe ROC (Receiver Operating Characteristic) balaie tous les seuils possibles et trace, pour chacun, la sensibilité en fonction du taux de faux positifs. Elle résume d'un seul trait le comportement du test sur toute la plage de décision.

Plus la courbe se rapproche du coin supérieur gauche (Se = 100 %, faux positifs = 0), meilleur est le test. Une courbe collée à la diagonale traduit un test qui ne distingue pas mieux que le tirage à pile ou face.

Pour résumer la courbe en un seul chiffre, on mesure l'aire sous la courbe (AUC, area under the curve), comprise entre 0,5 et 1.

L'AUC a une interprétation élégante : c'est la probabilité que le test attribue une valeur plus élevée à un malade tiré au hasard qu'à un sain tiré au hasard. Une AUC de 0,85 signifie que, dans 85 % des paires (un malade, un sain), le malade a bien la valeur la plus haute.

Repères courants : AUC $< 0{,}7$ médiocre, $0{,}7$–$0{,}8$ acceptable, $0{,}8$–$0{,}9$ bonne, $> 0{,}9$ excellente. Atout majeur : l'AUC ne dépend d'aucun seuil ni de la prévalence — elle mesure le pouvoir discriminant global du test, ce qui permet de comparer deux tests entre eux d'un coup d'œil.

Le seuil optimal n'est pas une propriété mathématique : il dépend du coût relatif des deux erreurs.

• Maladie grave, curable, que l'on ne veut pas manquer (dépistage d'un cancer, embolie pulmonaire) : on privilégie la sensibilité. Un faux positif entraîne un examen de confirmation, désagréable mais réparable ; un faux négatif peut être fatal. Seuil bas.
• Décision lourde et irréversible (chirurgie mutilante, traitement toxique) : on privilégie la spécificité, pour ne pas traiter un sujet sain. Seuil haut.

Quand aucune erreur ne prime, un compromis équilibré consiste à choisir le seuil qui maximise l'indice de Youden :

C'est le point de la courbe ROC le plus éloigné de la diagonale. Sur notre tableau, le seuil moyen (Se 88 %, Sp 85 %) donne $J = 0{,}73$, meilleur que le seuil bas ($0{,}53$) ou haut ($0{,}57$) — un bon compromis quand le contexte ne penche ni d'un côté ni de l'autre.

• Pour un test à mesure continue, le seuil arbitre entre sensibilité et spécificité : les augmenter simultanément est impossible.
• Seuil bas → Se élevée, Sp faible (beaucoup de faux positifs) ; seuil haut → l'inverse.
• La courbe ROC trace Se en fonction du taux de faux positifs ($1-\text{Sp}$) pour tous les seuils ; plus elle monte vers le coin supérieur gauche, meilleur est le test.
• L'AUC (0,5 = hasard, 1 = parfait) mesure le pouvoir discriminant global, indépendamment du seuil et de la prévalence.
• Le choix du seuil est clinique : privilégier la Se pour ne rien manquer, la Sp pour éviter les décisions lourdes à tort ; à défaut, maximiser $J = \text{Se} + \text{Sp} - 1$.