La régression logistique

La tentation serait d'écrire $p = a + b,x$ et d'ajuster une droite, comme en C-1. Deux obstacles rédhibitoires.

D'abord, une probabilité est bornée entre 0 et 1, mais une droite file vers $\pm\infty$. Pour un âge assez grand, le modèle prédirait $p = 1{,}3$ ou $p = -0{,}2$ — dépourvus de sens.

Ensuite, la relation entre un facteur et une probabilité est rarement linéaire : elle sature. Passer de 20 à 30 ans change peu le risque d'infarctus ; passer de 60 à 70 ans le change beaucoup. La bonne forme est une courbe en S (sigmoïde), pas une droite.

La solution passe par une réécriture de la probabilité. On définit d'abord les odds (la « cote ») : le rapport de la probabilité que l'événement survienne à celle qu'il ne survienne pas.

Si $p = 0{,}80$, les odds valent $0{,}80 / 0{,}20 = 4$ : l'événement est « 4 fois plus probable que son contraire ». Les odds vont de $0$ à $+\infty$ — on a déjà supprimé la borne haute. En prenant le logarithme, on obtient le logit, qui s'étend de $-\infty$ à $+\infty$ :

C'est cette quantité, sans borne, que l'on modélise linéairement :

En sens inverse, on revient à la probabilité par la sigmoïde $p = 1 / (1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots)})$, toujours comprise entre 0 et 1. Le tour est joué : linéaire sur l'échelle logit, borné sur l'échelle des probabilités.

Que signifie un coefficient $\beta_1$ ? Sur l'échelle logit, augmenter $x_1$ d'une unité ajoute $\beta_1$. Sur l'échelle des odds, cela multiplie les odds par $e^{\beta_1}$. Or ce facteur multiplicatif des odds est précisément un odds ratio (chapitre G-2) :

Interprétation : $\text{OR} = 1$ signifie aucun effet ; $\text{OR} > 1$ un facteur de risque ; $\text{OR} < 1$ un facteur protecteur.

Mini-exemple chiffré original. On modélise la survenue d'une infection du site opératoire selon le tabac ($x = 1$ fumeur, $0$ non-fumeur). Le modèle donne $\beta_{\text{tabac}} = 0{,}59$, d'où :

Les fumeurs ont des odds d'infection 1,8 fois plus élevés que les non-fumeurs. Pour une variable continue comme la glycémie, avec $\beta = 0{,}26$ par mmol/L, chaque mmol/L supplémentaire multiplie les odds par $e^{0{,}26} \approx 1{,}30$, soit +30 % par unité.

Le vrai pouvoir du modèle est d'estimer chaque OR en tenant les autres variables constantes. Chaque odds ratio est alors ajusté : c'est l'effet propre du facteur, débarrassé des autres.

C'est l'outil de choix contre les facteurs de confusion (chapitre G-6). Reprenons le tabac. En analyse brute, l'OR d'infection du site opératoire pour le tabac est de 2,10. Mais les fumeurs de l'étude étaient aussi plus souvent diabétiques, or le diabète favorise l'infection. En introduisant le diabète dans le modèle, l'OR du tabac descend à 1,80 :

La différence (2,10 → 1,80) correspond à la part de l'association qui passait en réalité par le diabète. L'OR ajusté isole l'effet du tabac « à diabète égal ». Comme pour tout modèle, un OR dont l'intervalle de confiance exclut 1 est statistiquement significatif.

L'odds ratio se lit souvent, à tort, comme un risque relatif. Les deux coïncident seulement quand l'événement est rare (incidence faible). Dès que l'événement est fréquent, l'OR s'éloigne du risque relatif et exagère l'effet.

Illustration. Si un facteur fait passer une probabilité de 0,40 à 0,60, le risque relatif vaut $0{,}60/0{,}40 = 1{,}5$, mais les odds passent de $0{,}67$ à $1{,}5$, soit un OR de $2{,}25$ — nettement plus impressionnant. Annoncer « le risque double » sur la foi d'un OR de 2 serait une surinterprétation quand l'issue est courante.

• La régression logistique prédit une issue binaire (0/1) en modélisant la probabilité $p$ que $Y = 1$.
• La régression linéaire échoue : elle prédit des probabilités hors de [0 ; 1] et suppose une relation droite là où la forme est sigmoïde.
• On modélise le logit $\ln[p/(1-p)]$ (les log-odds), sans borne, de façon linéaire, puis on revient à $p$ par la sigmoïde.
• Chaque coefficient exponentié donne un odds ratio ($\text{OR} = e^{\beta}$) ; le modèle fournit des OR ajustés qui neutralisent les facteurs de confusion (lien G-2 et G-6).
• Piège : l'OR n'égale le risque relatif que si l'événement est rare ; sur un événement fréquent, il exagère l'effet.