Population et échantillon : le schéma de l'urne

Fixons le vocabulaire, car toute la suite en dépend.

• La population est l'ensemble de tous les individus concernés par la question. Elle est souvent immense, parfois infinie ou même hypothétique (tous les patients qui pourraient un jour recevoir ce traitement). On ne la voit jamais en entier.
• L'échantillon est le sous-ensemble réellement observé. C'est le seul que l'on mesure.

À chacun son chiffre :

• Le paramètre décrit la population. C'est une valeur fixe mais inconnue : par exemple la vraie proportion $p$ de porteurs du variant. Elle existe, elle a une valeur précise, mais nous l'ignorons.
• L'estimation décrit l'échantillon. C'est la proportion observée $\hat{p}$, par exemple 24 porteurs sur 200, soit $\hat{p} = 0{,}12$. Elle est connue mais variable : un autre échantillon de 200 donnerait un autre chiffre.

Pour raisonner sans se perdre, remplaçons la population par une image simple et calculable : une urne.

Imaginez une urne géante contenant des milliers de boules. Une fraction $p$ d'entre elles est rouge (les porteurs du variant), le reste est blanche. La proportion $p$ est fixée une fois pour toutes, mais vous ne pouvez pas ouvrir l'urne pour la compter.

Ce que vous faites : plonger la main et tirer au sort 200 boules. Vous comptez les rouges : 24. Votre estimation est $\hat{p} = 24/200 = 0{,}12$.

Recommencez : reposez les boules, mélangez, tirez à nouveau 200 boules. Vous trouverez peut-être 27 rouges, puis 21, puis 30… Chaque tirage donne un $\hat{p}$ un peu différent, alors que le vrai $p$ n'a pas bougé d'un pouce. Cette danse des $\hat{p}$ autour de $p$ porte un nom : la fluctuation d'échantillonnage.

Comment un échantillon peut-il s'écarter du vrai $p$ ? La théorie de l'urne répond précisément. Si la vraie proportion est $p$ et qu'on tire $n$ boules, l'estimation $\hat{p}$ fluctue autour de $p$ avec un écart-type caractéristique appelé erreur standard :

Avec $p = 0{,}12$ et $n = 200$ : $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{0{,}12 \times 0{,}88 / 200} \approx 0{,}023$, soit 2,3 points de pourcentage.

Pour juger si un échantillon est « loin » ou « près » du vrai $p$, on ramène son écart à cette unité naturelle : c'est l'écart-réduit (ou variable centrée réduite)

Un $z$ de 0 signifie « pile sur la cible » ; un $z$ de 2 signifie « à deux erreurs standard de la cible », ce qui est déjà rare. Cet écart-réduit est l'outil qui, dans toute la partie A, transformera une différence brute en jugement sur le hasard.

Toute la mécanique de l'urne repose sur une condition : chaque individu de la population doit avoir la même chance d'entrer dans l'échantillon. C'est le tirage au sort, ou échantillonnage aléatoire.

S'il est respecté, l'échantillon est représentatif et le hasard devient calculable. S'il est violé, l'estimation se met à mentir de façon systématique — et aucune formule ne pourra rattraper le biais.

• On veut connaître une population (le tout, souvent inaccessible) à partir d'un échantillon (la partie observée).
• Le paramètre ($p$, $\mu$…) décrit la population : fixe mais inconnu. L'estimation ($\hat{p}$, $\bar{x}$…) décrit l'échantillon : connue mais fluctuante.
• Le schéma de l'urne modélise ce lien : tirer au sort $n$ boules dans une urne de proportion $p$ inconnue. Chaque tirage donne un $\hat{p}$ différent : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
• Cette fluctuation se mesure par l'erreur standard $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{p(1-p)/n}$, et se juge par l'écart-réduit $z = (\hat{p}-p)/\sigma_{\hat{p}}$. Elle diminue quand $n$ augmente.
• Tout repose sur le tirage au sort : sans lui, l'échantillon n'est pas représentatif et l'estimation est biaisée. Un grand échantillon mal tiré ne vaut rien.