Corrélation des rangs de Spearman

01 · Quand la liaison n'est pas une droite

Le coefficient de corrélation de Pearson, noté $r$ , mesure à quel point deux variables s'alignent sur une droite. C'est un excellent outil… tant que la relation est effectivement linéaire et les données à peu près normales.

Mais la biologie regorge de relations courbes. La concentration d'un polluant dans l'eau et son accumulation dans le foie d'un poisson croissent ensemble, mais de façon exponentielle. La dose d'un médicament et son effet suivent souvent une courbe qui s'infléchit. Dans ces cas, les deux variables « montent ensemble » sans jamais former une droite : Pearson, qui ne sait mesurer que l'alignement linéaire, sous-estime alors la force de la liaison.

Il nous faut un coefficient qui reconnaisse une relation dès lors qu'elle est monotone — c'est-à-dire toujours croissante, ou toujours décroissante — sans exiger qu'elle soit droite. C'est exactement ce que fournit la corrélation des rangs de Spearman, notée $r_s$ .

02 · L'idée : la corrélation de Pearson… sur les rangs

La recette est d'une élégance remarquable. On ne change pas de formule : on change de matière première.

On range séparément les valeurs de $X$ (rang de 1 à $n$ ) et les valeurs de $Y$ .
On applique ensuite la formule de Pearson, mais aux rangs au lieu des valeurs brutes.

Pourquoi cela résout notre problème ? Parce qu'une relation courbe mais monotone devient parfaitement linéaire une fois exprimée en rangs : si $Y$ augmente toujours quand $X$ augmente, alors le rang de $Y$ augmente exactement en même temps que le rang de $X$ , quelle que soit la courbure. Les rangs redressent la courbe.

Dans le cas commode où il n'y a aucun ex æquo, la formule de Pearson sur les rangs se simplifie en une expression très maniable, fondée sur les différences de rangs $d = \text{rang}(X) - \text{rang}(Y)$ de chaque paire :

r_s = 1 - \frac{6\sum d^{\,2}}{n\,(n^2 - 1)}

Comme $r$ , le coefficient $r_s$ varie entre $-1$ (liaison monotone décroissante parfaite) et $+1$ (croissante parfaite), $0$ signalant l'absence de tendance monotone.

03 · Un exemple chiffré complet

On étudie la bioaccumulation d'un polluant : sa concentration dans l'eau ( $X$ , en µg/L) et sa concentration mesurée dans le foie de poissons ( $Y$ , en mg/kg), sur sept sites.

Site	$X$ (eau)	$Y$ (foie)	rang $X$	rang $Y$	$d$	$d^2$
1	2	3,1	1	1	0	0
2	4	5,0	2	3	−1	1
3	5	3,8	3	2	+1	1
4	8	9,5	4	4	0	0
5	11	22	5	5	0	0
6	15	60	6	6	0	0
7	20	150	7	7	0	0

La relation entre $X$ et $Y$ est fortement courbe (les valeurs de $Y$ explosent : 3,1 puis 150). Mais en rangs, elle est presque parfaite : seuls les sites 2 et 3 sont légèrement inversés.

\sum d^{\,2} = 0+1+1+0+0+0+0 = 2

r_s = 1 - \frac{6 \times 2}{7\,(7^2 - 1)} = 1 - \frac{12}{7 \times 48} = 1 - \frac{12}{336} = 1 - 0{,}036 \approx 0{,}96

Un $r_s \approx 0{,}96$ : la liaison monotone est presque parfaite.

04 · Spearman contre Pearson : la comparaison décisive

Sur ces mêmes données, la corrélation de Pearson appliquée aux valeurs brutes vaut environ $0{,}91$ : déjà plus basse que $r_s$ , et elle s'effondrerait bien davantage sur une courbure plus prononcée ou en présence d'un point franchement aberrant. Pourquoi cet écart ?

Parce que Pearson est tiré vers le bas par la courbure : les points ne s'alignent pas sur une droite, et l'unique valeur géante ( $Y = 150$ ) déforme tout le calcul. Spearman, en travaillant sur les rangs, ignore et la courbure et l'ampleur des écarts : il ne voit que l'ordre, qui, lui, est quasi parfait.

	Pearson $r$	Spearman $r_s$
Mesure	liaison linéaire	liaison monotone
Calcul sur	les valeurs	les rangs
Sensible aux valeurs extrêmes	oui, beaucoup	non, très peu
Suppose la normalité	oui (pour tester $r$ )	non

05 · Tester la significativité de rₛ

Un coefficient calculé sur sept sites pourrait n'être qu'un caprice du hasard. On teste donc l'hypothèse nulle « $X$ et $Y$ ne sont liées par aucune tendance monotone » ( $r_s = 0$ dans la population).

Pour les petits effectifs, on compare $r_s$ à une valeur critique tabulée : on conclut à une liaison significative si $|r_s|$ dépasse ce seuil. Pour $n = 7$ au risque bilatéral de 5 %, la table donne un seuil d'environ $0{,}79$ ; notre $r_s \approx 0{,}96$ le franchit largement : la corrélation est significative.

Pour de plus grands effectifs, on peut recourir à une approximation (par une loi de Student à $n-2$ degrés de liberté), comme pour Pearson.

06 · Piège : monotone ne veut pas dire causal, ni « en cloche »

Deux confusions guettent.

Spearman ne voit que le monotone. Une relation en U — $Y$ baisse puis remonte quand $X$ croît (comme la mortalité en fonction d'une dose, minimale à dose moyenne) — n'est pas monotone. Spearman y renverra un $r_s$ proche de 0, alors qu'il existe une liaison bien réelle, mais non monotone. Un coefficient nul ne signifie donc jamais « aucune relation », seulement « aucune tendance monotone ».

07 · À retenir

Le coefficient de Spearman $r_s$ est la corrélation de Pearson appliquée aux rangs de $X$ et de $Y$ .
Il capte toute liaison monotone, même courbe (non linéaire), et résiste aux valeurs extrêmes ; il ne suppose aucune normalité.
Sans ex æquo : $r_s = 1 - \dfrac{6\sum d^{,2}}{n(n^2-1)}$ , où $d$ est la différence de rangs de chaque paire.
Sur notre exemple ( $n = 7$ , relation exponentielle) : $\sum d^2 = 2$ , d'où $r_s \approx 0{,}96$ , bien au-dessus du seuil critique $\approx 0{,}79$ : liaison significative.
Pearson mesure l'alignement linéaire ; Spearman la tendance monotone. Un $r_s$ nul signifie « pas de tendance monotone », pas « aucune relation ».

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Quel type de liaison le coefficient de Spearman rₛ est-il capable de détecter ?

Q2. Comment calcule-t-on le coefficient de Spearman ?