Tests non paramétriques

Plusieurs groupes : le test de Kruskal-Wallis

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

Étendre Mann-Whitney à K groupes indépendants : classer toutes les valeurs, comparer les rangs moyens de chaque groupe, en déduire la statistique H — l'équivalent non paramétrique de l'analyse de variance.

01 · Au-delà de deux groupes

Mann-Whitney compare deux groupes indépendants. Mais que faire lorsqu'il y en a trois, quatre ou davantage ? Trois régimes alimentaires, quatre doses d'un principe actif, cinq laboratoires d'analyse : on veut savoir si au moins l'un des groupes se distingue des autres.

Le réflexe naïf serait de multiplier les Mann-Whitney deux à deux. C'est un piège bien connu : chaque comparaison porte son propre risque $\alpha$ , et à force de les cumuler, le risque global d'une fausse alarme explose. C'est exactement le problème qui, pour les données normales, justifiait l'analyse de variance (ANOVA) plutôt que des $t$ de Student répétés.

Le test de Kruskal-Wallis est la réponse non paramétrique : un test global unique, l'équivalent sur les rangs de l'ANOVA à un facteur.

02 · L'idée : comparer les rangs moyens

Le principe prolonge naturellement celui de Mann-Whitney.

On réunit toutes les observations des $K$ groupes en une seule série, et on les classe de 1 à $N$ (l'effectif total).
Pour chaque groupe $i$ , on calcule la somme des rangs $R_i$ , puis son rang moyen $\bar{R}_i = R_i / n_i$ .
Si tous les groupes étaient semblables, leurs rangs moyens seraient tous proches du rang moyen général $\frac{N+1}{2}$ . S'ils diffèrent, certains groupes auront un rang moyen nettement plus haut ou plus bas.

La statistique $H$ mesure précisément l'écartement des rangs moyens de groupe autour de la valeur centrale :

H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{K} \frac{R_i^{\,2}}{n_i} \;-\; 3\,(N+1)

Plus les groupes se ressemblent, plus $H$ est petit. Plus ils se séparent, plus $H$ enfle.

03 · Un exemple chiffré complet

On mesure l'activité d'une enzyme (en UI/L) chez des rats soumis à trois régimes (A, B, C), quatre rats par régime.

Régime A : 12 · 15 · 18 · 21
Régime B : 20 · 24 · 27 · 30
Régime C : 28 · 33 · 36 · 40

Classement des douze valeurs réunies ( $N = 12$ ) :

Valeur	12	15	18	20	21	24	27	28	30	33	36	40
Groupe	A	A	A	B	A	B	B	C	B	C	C	C
Rang	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Sommes des rangs par groupe :

R_A = 1+2+3+5 = 11 \qquad R_B = 4+6+7+9 = 26 \qquad R_C = 8+10+11+12 = 41

Contrôle : $R_A + R_B + R_C = 78 = \frac{12 \times 13}{2}$ . ✓ Les rangs moyens $\frac{11}{4} = 2{,}75$ , $\frac{26}{4} = 6{,}5$ et $\frac{41}{4} = 10{,}25$ montent nettement de A vers C.

04 · Le calcul de H et la décision

On applique la formule. D'abord la somme centrale :

\sum_{i} \frac{R_i^{\,2}}{n_i} = \frac{11^2}{4} + \frac{26^2}{4} + \frac{41^2}{4} = \frac{121 + 676 + 1681}{4} = \frac{2478}{4} = 619{,}5

Puis :

H = \frac{12}{12 \times 13}\times 619{,}5 \;-\; 3 \times 13 = \frac{619{,}5}{13} - 39 = 47{,}65 - 39 = 8{,}65

(car $\frac{12}{12 \times 13} = \frac{1}{13}$ , et $\frac{619{,}5}{13} = 47{,}65$ ).

Comment décider ? Pour un effectif suffisant, $H$ suit approximativement une loi du khi-deux à $K-1$ degrés de liberté. Ici $K = 3$ , donc 2 degrés de liberté.

Au risque $\alpha = 0{,}05$ , le khi-deux à 2 degrés de liberté vaut 5,99. Notre $H = 8{,}65 > 5{,}99$ : on rejette. Les trois régimes n'ont pas le même effet sur l'activité enzymatique.

05 · Ce que H dit et ne dit pas

Le test de Kruskal-Wallis est un test global : il répond à la question « au moins un groupe diffère-t-il des autres ? », sans préciser lequel. Exactement comme l'ANOVA, un résultat significatif ouvre la porte mais ne désigne pas le coupable.

Pour identifier quels groupes diffèrent, on procède ensuite à des comparaisons deux à deux (par exemple des tests de Mann-Whitney), assorties d'une correction du risque $\alpha$ pour compenser leur multiplicité — le même souci de rigueur que pour les comparaisons post-ANOVA.

06 · Piège : effectifs trop petits et ex æquo

Deux limites méritent l'attention.

L'approximation par le khi-deux n'est fiable que si les effectifs ne sont pas trop faibles (en pratique, au moins cinq observations par groupe est confortable ; avec quatre par groupe comme dans notre exemple, on reste prudent et l'on peut recourir à des tables exactes). Pour des groupes minuscules, des tables spécifiques existent.

07 · À retenir

Le test de Kruskal-Wallis compare $K$ groupes indépendants : c'est l'équivalent non paramétrique de l'ANOVA à un facteur et la généralisation de Mann-Whitney.
Méthode : classer ensemble les $N$ valeurs, calculer les sommes de rangs $R_i$ , puis $H = \dfrac{12}{N(N+1)} \sum_i \dfrac{R_i^{,2}}{n_i} - 3(N+1)$ .
Sur notre exemple (3 régimes, 4 rats chacun) : $R_A = 11$ , $R_B = 26$ , $R_C = 41$ , d'où $H \approx 8{,}65$ .
Décision : comparer $H$ à un khi-deux à $K-1$ degrés de liberté. Ici $8{,}65 > 5{,}99$ : on rejette.
C'est un test global : un résultat significatif appelle des comparaisons deux à deux corrigées pour savoir quels groupes diffèrent.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Le test de Kruskal-Wallis est l'équivalent non paramétrique de quel test paramétrique ?

Q2. À quelle loi compare-t-on la statistique H pour décider, et avec combien de degrés de liberté (K groupes) ?

Plusieurs groupes : le test de Kruskal-Wallis

Le test de Kruskal-Wallis compare $K$ groupes indépendants : c'est l'équivalent non paramétrique de l'ANOVA à un facteur et la généralisation de Mann-Whitney.
Méthode : classer ensemble les $N$ valeurs, calculer les sommes de rangs $R_i$ , puis $H = \dfrac{12}{N(N+1)} \sum_i \dfrac{R_i^{,2}}{n_i} - 3(N+1)$ .
Sur notre exemple (3 régimes, 4 rats chacun) : $R_A = 11$ , $R_B = 26$ , $R_C = 41$ , d'où $H \approx 8{,}65$ .
Décision : comparer $H$ à un khi-deux à $K-1$ degrés de liberté. Ici $8{,}65 > 5{,}99$ : on rejette.
C'est un test global : un résultat significatif appelle des comparaisons deux à deux corrigées pour savoir quels groupes diffèrent.