Séries appariées : le test T de Wilcoxon

Le raisonnement se fait en quatre gestes.

1. Calculer la différence $d$ pour chaque paire (par exemple après moins avant).
2. Écarter les différences nulles : un sujet qui n'a pas bougé n'apporte aucune information sur le sens du changement. On réduit l'effectif $n$ en conséquence.
3. Ranger les valeurs absolues $|d|$, de la plus petite (rang 1) à la plus grande. On oublie provisoirement le signe.
4. Rattacher le signe à chaque rang, puis sommer séparément :
   • $W_+$ = somme des rangs des différences positives,
   • $W_-$ = somme des rangs des différences négatives.

Si le traitement n'avait aucun effet, hausses et baisses se répartiraient au hasard, et $W_+$ serait proche de $W_-$. Si le traitement agit dans un sens, l'une des deux sommes s'effondre.

La statistique de test est la plus petite des deux :

On mesure la pression artérielle systolique (mmHg) chez huit patients hypertendus, avant puis après quatre semaines d'un nouveau traitement.

| Patient | Avant | Après | $d$ (après − avant) | $|d|$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 158 | 149 | −9 | 9 |
| 2 | 145 | 142 | −3 | 3 |
| 3 | 162 | 150 | −12 | 12 |
| 4 | 150 | 151 | +1 | 1 |
| 5 | 171 | 155 | −16 | 16 |
| 6 | 148 | 141 | −7 | 7 |
| 7 | 165 | 165 | 0 | — |
| 8 | 155 | 150 | −5 | 5 |

Le patient 7 n'a pas bougé : on l'écarte. Il reste $n = 7$ paires exploitables.

Rangs des valeurs absolues (de la plus petite à la plus grande) :

| $|d|$ | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe | + | − | − | − | − | − | − |
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Une seule différence est positive (patient 4, rang 1). D'où :

Contrôle : $W_+ + W_- = 28 = \frac{7 \times 8}{2}$. ✓ La statistique retenue est $T = \min(1,,27) = 1$.

Un $T$ petit signifie que presque tous les changements vont dans le même sens : effet net. Un $T$ grand (proche de la moitié de $\frac{n(n+1)}{2}$) signifie que hausses et baisses s'équilibrent : pas d'effet.

Comme pour Mann-Whitney, on compare $T$ à une valeur critique tabulée. La règle est identique :

Pour $n = 7$, au risque bilatéral $\alpha = 0{,}05$, la table donne une valeur critique de 2. Notre $T = 1 \le 2$ : on rejette l'hypothèse nulle. Le traitement abaisse significativement la pression artérielle. Six patients sur huit ont vu leur tension baisser, un seul est monté — et de 1 mmHg —, un n'a pas bougé ; les baisses concentrent l'essentiel des rangs, ce que le hasard seul expliquerait mal.

Le test T de Wilcoxon est plus fin qu'un simple test des signes, qui se contenterait de compter combien de patients montent et combien descendent (ici 1 contre 6). En rangeant les différences par amplitude, Wilcoxon tient compte du fait que les baisses observées sont, pour la plupart, importantes (−9, −12, −16) tandis que la seule hausse est minuscule (+1). Cette prise en compte de l'ampleur relative lui confère plus de puissance que le test des signes.

Il reste néanmoins non paramétrique : il n'utilise pas la valeur exacte des différences, seulement leur classement. Une baisse de 16 mmHg ne compte pas « comme 16 » mais « comme la plus grande » : elle reçoit le rang 7, un point c'est tout.

Deux précautions valent d'être soulignées.

Le sens de la soustraction n'a aucune importance pour la décision : que vous calculiez « après − avant » ou « avant − après », vous ne faites qu'échanger $W_+$ et $W_-$. Or $T$ est le minimum des deux : il ne change pas. En revanche, pour interpréter le résultat (le traitement fait-il baisser ou monter ?), gardez en tête la convention choisie.

• Le test T de Wilcoxon apparié est l'équivalent non paramétrique du $t$ apparié : deux mesures sur les mêmes sujets (avant / après).
• Méthode : calculer les différences $d$, écarter les nulles, ranger les $|d|$, puis sommer les rangs par signe en $W_+$ et $W_-$ ; la statistique est $T = \min(W_+, W_-)$.
• Sur notre exemple ($n = 7$ après exclusion d'une paire nulle) : $W_+ = 1$, $W_- = 27$, donc $T = 1$ ; valeur critique $= 2$ à 5 % bilatéral, on rejette l'hypothèse nulle.
• Décision : rejet si $T \le$ valeur critique de la table.
• Il est plus puissant que le test des signes (il tient compte de l'amplitude des différences) mais suppose leur distribution à peu près symétrique.