Deux groupes indépendants : Mann-Whitney et Wilcoxon

1. Classer ensemble. On réunit les $n_1 + n_2$ observations en une seule série, et on leur attribue un rang de 1 (la plus petite) à $n_1 + n_2$ (la plus grande).
2. Sommer les rangs d'un groupe. On additionne les rangs appartenant à l'un des groupes, disons le groupe A : c'est la somme $R_A$, base historique du test de Wilcoxon.
3. Calculer U. On en déduit la statistique de Mann-Whitney :

Le terme soustrait, $\frac{n_A(n_A+1)}{2}$, est la somme minimale que le groupe A pourrait atteindre (s'il occupait tous les plus petits rangs). $U_A$ mesure donc de combien le groupe A « dépasse » ce plancher.

On calcule de même $U_B$ pour l'autre groupe, et l'on dispose d'un garde-fou pratique :

La statistique de test retenue est la plus petite des deux : $U = \min(U_A, U_B)$.

On compare le temps de cicatrisation (en jours) d'une plaie standardisée chez la souris, sous une pommade test (groupe A) et une pommade témoin (groupe B), six animaux par groupe.

• Groupe A (test) : 4 · 6 · 7 · 9 · 10 · 12
• Groupe B (témoin) : 8 · 11 · 13 · 14 · 16 · 18

Étape 1 — classement des douze valeurs réunies :

Valeur	4	6	7	8	9	10	11	12	13	14	16	18
Groupe	A	A	A	B	A	A	B	A	B	B	B	B
Rang	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Étape 2 — somme des rangs de chaque groupe :

Vérification : $R_A + R_B = 78 = \frac{12 \times 13}{2}$. ✓

Étape 3 — statistiques U :

Contrôle : $U_A + U_B = 4 + 32 = 36 = 6 \times 6$. ✓ On retient $U = \min(4,,32) = 4$.

Que signifie $U = 4$ ? Un $U$ petit traduit un fort déséquilibre : l'un des groupes accapare les petits rangs, l'autre les grands. Un $U$ grand (proche de $\frac{n_A n_B}{2} = 18$ ici) traduirait au contraire un mélange harmonieux, donc des groupes semblables.

Pour trancher sur petits effectifs, on compare $U$ à une valeur critique lue dans la table de Mann-Whitney. La règle de décision est :

Pour $n_A = n_B = 6$, au risque bilatéral $\alpha = 0{,}05$, la table donne une valeur critique de 5. Or notre $U = 4 \le 5$ : on rejette l'hypothèse nulle. La pommade test accélère bel et bien la cicatrisation — un résultat obtenu sans jamais supposer la moindre normalité.

Les tables s'arrêtent vers $n = 20$. Au-delà, on n'en a plus besoin : quand les effectifs grandissent, la statistique $U$ se comporte comme une loi normale. On la centre et on la réduit :

On compare alors $|Z|$ à 1,96 (seuil bilatéral à 5 %), exactement comme pour un écart réduit. Le test de rangs rejoint ainsi le formalisme familier des grands échantillons.

Le nom de Wilcoxon recouvre deux tests distincts, et les mélanger est l'erreur classique.

• Le test présenté ici (somme des rangs de Wilcoxon = Mann-Whitney) compare deux groupes indépendants : deux lots d'animaux différents, deux populations séparées.
• Le test T de Wilcoxon pour séries appariées (chapitre suivant) s'applique quand les deux mesures portent sur les mêmes individus (avant / après).

• Le test de Mann-Whitney (= somme des rangs de Wilcoxon) est l'équivalent non paramétrique du $t$ de Student pour deux groupes indépendants.
• Méthode : classer ensemble les $n_1+n_2$ valeurs, sommer les rangs d'un groupe ($R_A$), en déduire $U_A = R_A - \frac{n_A(n_A+1)}{2}$, retenir $U = \min(U_A, U_B)$.
• Sur notre exemple ($6$ contre $6$) : $R_A = 25$, $U = 4$ ; valeur critique $= 5$ à 5 % bilatéral, donc on rejette l'hypothèse nulle.
• Décision sur petits effectifs : rejet si $U \le$ valeur critique de la table. Sur grands effectifs : approximation normale via $Z$.
• Ne jamais confondre avec le Wilcoxon apparié : ici les groupes sont indépendants.