Deux variables quantitatives

Liaisons multiples et corrélations partielles

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

Comment une troisième variable peut fabriquer ou masquer une corrélation, comment la corrélation partielle la neutralise, et pourquoi corrélation n'est jamais causalité.

01 · Une troisième variable qui brouille tout

Une étude observe que les gros buveurs de café ont plus d'accidents cardiovasculaires. La corrélation est nette, disons $r = 0{,}50$ . Faut-il incriminer le café ?

Pas si vite. Les gros buveurs de café fument aussi davantage, et le tabac, lui, est un facteur de risque cardiovasculaire établi. Le tabac est corrélé au café (les deux habitudes vont ensemble) et au risque (il l'augmente). Il pourrait donc créer, à lui seul, une liaison apparente entre café et risque — sans que le café y soit pour rien.

Une telle variable, liée à la fois à ce que l'on étudie et à ce que l'on mesure, s'appelle un facteur de confusion. Il est le grand ennemi de l'interprétation des corrélations : il fabrique des liaisons qui n'existent pas, ou en cache qui existent.

02 · La corrélation partielle : neutraliser z

Comment savoir si le café garde un lien avec le risque une fois le tabac mis hors jeu ? L'idéal serait de ne comparer que des fumeurs identiques entre eux. À défaut, la statistique le simule avec la corrélation partielle, notée $r_{xy \cdot z}$ : la corrélation entre $x$ et $y$ à $z$ constant.

Sa formule combine les trois corrélations simples deux à deux :

r_{xy \cdot z} = \dfrac{r_{xy} - r_{xz}\,r_{yz}}{\sqrt{\left(1 - r_{xz}^2\right)\left(1 - r_{yz}^2\right)}}

Lisez le numérateur : on retranche de la liaison brute $r_{xy}$ ce que $z$ explique à lui seul ( $r_{xz},r_{yz}$ ). Si tout le lien passait par $z$ , ce numérateur s'annule et la corrélation partielle tombe à zéro.

03 · Le calcul sur l'exemple café–tabac

Posons $x$ = café, $y$ = risque cardiovasculaire, $z$ = tabac, avec les corrélations simples suivantes :

r_{xy} = 0{,}50 \quad (\text{café–risque}), \qquad r_{xz} = 0{,}70 \quad (\text{café–tabac}), \qquad r_{yz} = 0{,}70 \quad (\text{tabac–risque})

La corrélation partielle café–risque, à tabac constant, vaut :

r_{xy \cdot z} = \dfrac{0{,}50 - 0{,}70 \times 0{,}70}{\sqrt{(1 - 0{,}49)(1 - 0{,}49)}} = \dfrac{0{,}50 - 0{,}49}{0{,}51} \approx 0{,}02

La liaison passe de $0{,}50$ à $0{,}02$ : elle s'évanouit. Presque toute la corrélation apparente entre café et risque n'était qu'un reflet du tabac. À tabac égal, le café n'a pratiquement plus de lien avec le risque cardiovasculaire — dans ce jeu de chiffres fictif mais parlant.

04 · Vers la régression multiple

Contrôler un seul facteur de confusion suffit rarement : l'âge, le poids, l'activité physique s'en mêlent aussi. La régression multiple généralise l'idée en modélisant $y$ par plusieurs variables à la fois :

y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \dots + b_k x_k

Chaque coefficient $b_j$ s'interprète « toutes les autres variables étant maintenues constantes » : c'est l'effet propre de $x_j$ , une fois les autres neutralisées, exactement l'esprit de la corrélation partielle mais avec plusieurs correcteurs simultanés.

05 · Piège : corrélation n'est pas causalité

Corrélation partielle et régression multiple aident à écarter la situation 3, mais aucune statistique ne prouve à elle seule une causalité. Celle-ci se construit autrement : par l'expérimentation contrôlée (randomisation), la cohérence temporelle (la cause précède l'effet), la plausibilité biologique et la reproductibilité. La statistique suggère, l'expérience et le raisonnement tranchent.

06 · À retenir

Un facteur de confusion $z$ , lié à la fois à $x$ et à $y$ , peut fabriquer ou masquer une corrélation apparente entre $x$ et $y$ .
La corrélation partielle $r_{xy \cdot z}$ mesure la liaison $x$ – $y$ à $z$ constant ; si le lien passait tout entier par $z$ , elle tombe à zéro (café–risque : $0{,}50 \to 0{,}02$ ).
La régression multiple généralise l'idée : chaque coefficient est l'effet propre d'une variable, les autres étant maintenues constantes — d'où les résultats « ajustés ».
Corrélation ≠ causalité : une liaison peut venir de $x \to y$ , de $y \to x$ , d'un facteur commun ou du hasard ; $r$ ne les distingue pas.
La causalité se démontre par l'expérimentation et le raisonnement, jamais par un coefficient de corrélation seul.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. On observe une corrélation r = 0,50 entre café et risque cardiovasculaire. Après avoir tenu compte du tabac, la corrélation partielle chute à 0,02. Que conclure ?

Q2. À quoi sert une corrélation partielle entre x et y ?

Liaisons multiples et corrélations partielles

Un facteur de confusion $z$ , lié à la fois à $x$ et à $y$ , peut fabriquer ou masquer une corrélation apparente entre $x$ et $y$ .
La corrélation partielle $r_{xy \cdot z}$ mesure la liaison $x$ – $y$ à $z$ constant ; si le lien passait tout entier par $z$ , elle tombe à zéro (café–risque : $0{,}50 \to 0{,}02$ ).
La régression multiple généralise l'idée : chaque coefficient est l'effet propre d'une variable, les autres étant maintenues constantes — d'où les résultats « ajustés ».
Corrélation ≠ causalité : une liaison peut venir de $x \to y$ , de $y \to x$ , d'un facteur commun ou du hasard ; $r$ ne les distingue pas.
La causalité se démontre par l'expérimentation et le raisonnement, jamais par un coefficient de corrélation seul.