Deux variables quantitatives

Coefficient exact ρ, variance liée et décomposition

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

Du r de l'échantillon au ρ de la population, et pourquoi la variance totale se partage exactement en une part liée et une part résiduelle, dont r² est le ratio.

01 · Le r que l'on calcule n'est qu'une estimation

Jusqu'ici, $r$ était calculé sur un échantillon : cinq patients, une valeur $0{,}91$ . Mais ces cinq-là ne sont qu'un tirage parmi tous les adultes possibles. Si la population entière avait une vraie liaison, elle aurait son propre coefficient, une constante fixe et inconnue que l'on note par la lettre grecque $\rho$ (rhô).

La distinction est la même qu'entre moyenne d'échantillon et moyenne vraie :

$\rho$ est le coefficient exact de la population — fixe, inconnu, ce que l'on voudrait connaître ;
$r$ est son estimation sur l'échantillon — calculable, mais fluctuant d'un tirage à l'autre.

Notre $r = 0{,}91$ est donc une photographie bruitée de $\rho$ . Sur cinq sujets, cette photo est floue : un autre échantillon de cinq donnerait un autre $r$ . C'est précisément ce flou que le test de $r$ (chapitre C-2) cherche à maîtriser.

02 · D'où vient la variabilité de y ?

Repartons de la variabilité de la PAS. Pourquoi les valeurs de $y$ ne sont-elles pas toutes égales ? Deux raisons se superposent.

Une partie de cette variabilité suit l'âge : les patients âgés ont, en tendance, une PAS plus haute. C'est la part que la droite de régression sait reproduire.
Une autre partie échappe à l'âge : à âge égal, deux patients diffèrent encore (poids, génétique, hasard de mesure). C'est ce que la droite ne capte pas.

L'idée-clé de ce chapitre est que ces deux parts ne se mélangent pas : elles s'additionnent exactement. La variabilité totale de $y$ se coupe proprement en deux morceaux.

03 · La décomposition de la variance

On mesure la variabilité par des sommes de carrés des écarts (notées $\text{SCE}$ ). Pour chaque patient, l'écart de sa PAS à la moyenne, $y_i - \bar{y}$ , se scinde en deux : l'écart que la droite explique ( $\hat{y}_i - \bar{y}$ ) et l'écart résiduel qu'elle laisse ( $y_i - \hat{y}_i$ ).

En élevant au carré et en sommant sur tous les individus, les doubles produits s'annulent (propriété des moindres carrés), et il reste une égalité exacte :

\underbrace{\sum (y_i - \bar{y})^2}_{\text{SCE}_{\text{tot}}} = \underbrace{\sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2}_{\text{SCE}_{\text{exp}}} + \underbrace{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}_{\text{SCE}_{\text{res}}}

soit, en mots :

\text{variance totale} = \text{variance liée (expliquée)} + \text{variance résiduelle}

04 · Le calcul sur notre exemple

Reprenons les cinq adultes. La variabilité totale de la PAS est $\text{SCE}_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2 = 776$ . La part expliquée par la droite se calcule directement :

\text{SCE}_{\text{exp}} = \dfrac{\left[\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\right]^2}{\sum (x_i-\bar{x})^2} = \dfrac{800^2}{1000} = 640

Il reste donc, par différence, une variance résiduelle :

\text{SCE}_{\text{res}} = 776 - 640 = 136

La partition est limpide : $776 = 640 + 136$ . Sur la variabilité totale de la PAS, 640 unités vont de pair avec l'âge et 136 lui échappent.

05 · r² est exactement ce ratio

Le rapport de la part expliquée à la part totale n'est autre que $r^2$ :

r^2 = \dfrac{\text{SCE}_{\text{exp}}}{\text{SCE}_{\text{tot}}} = \dfrac{640}{776} \approx 0{,}82

On retrouve le $r^2$ du chapitre C-2, mais avec une signification bien plus concrète : ce n'est pas une abstraction, c'est la fraction de la variabilité totale que la régression absorbe. Ici, l'âge « prend en charge » 82 % de la variabilité de la PAS ; les 18 % restants ( $136/776$ ) restent résiduels.

06 · Piège : « expliquée » ne veut pas dire « causée »

Second garde-fou : un $r^2$ élevé sur un petit échantillon est facilement gonflé par le hasard. Ajouter des points, ou des variables, augmente presque toujours la part « expliquée » sans que la liaison soit plus réelle. La solidité de $r^2$ se juge avec $n$ , jamais dans l'absolu.

07 · À retenir

$\rho$ est le coefficient exact et inconnu de la population ; $r$ n'en est qu'une estimation fluctuante calculée sur l'échantillon.
La variabilité de $y$ se décompose exactement : $\text{SCE}$ (totale = liée + résiduelle).
$r^2 = \text{SCE}$ : la fraction de variance liée à $x$ ; ici $640/776 \approx 0{,}82$ , et $1 - r^2 \approx 0{,}18$ est la part résiduelle.
« Variance expliquée » est un terme statistique (lien), pas causal.
Un $r^2$ ne se juge pas sans son effectif : petit $n$ , valeur facilement surestimée.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Dans une régression, la variance totale de y se décompose en :

Q2. Quelle est la relation entre r² et la décomposition de variance ?

Coefficient exact ρ, variance liée et décomposition

$\rho$ est le coefficient exact et inconnu de la population ; $r$ n'en est qu'une estimation fluctuante calculée sur l'échantillon.
La variabilité de $y$ se décompose exactement : $\text{SCE}$ (totale = liée + résiduelle).
$r^2 = \text{SCE}$ : la fraction de variance liée à $x$ ; ici $640/776 \approx 0{,}82$ , et $1 - r^2 \approx 0{,}18$ est la part résiduelle.
« Variance expliquée » est un terme statistique (lien), pas causal.
Un $r^2$ ne se juge pas sans son effectif : petit $n$ , valeur facilement surestimée.