Deux variables quantitatives

Le coefficient de corrélation r et son test

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

Comment un seul nombre entre −1 et +1 résume l'intensité d'une liaison linéaire, ce que signifie r², et pourquoi juger r sans connaître n n'a aucun sens.

01 · Résumer un nuage par un seul nombre

Un nuage de points dit tout, mais ne se transmet pas d'un mot. On voudrait un chiffre unique qui réponde à : les points serrent-ils une ligne montante, une ligne descendante, ou rien du tout ?

C'est le rôle du coefficient de corrélation linéaire $r$ (dit de Bravais-Pearson). Sa lecture tient en trois repères :

le signe dit le sens : $r > 0$ , les deux caractères montent ensemble ; $r < 0$ , l'un monte quand l'autre baisse ;
la valeur absolue dit la force : proche de $1$ , les points s'alignent presque parfaitement ; proche de $0$ , le nuage est informe ;
les bornes sont fixes : $r$ est toujours compris entre $-1$ et $+1$ , jamais au-delà.

-1 \le r \le +1

02 · Ce que r mesure vraiment : une liaison LINÉAIRE

Attention au piège fondamental : $r$ ne mesure pas « une liaison » en général, mais l'alignement sur une droite. C'est une mesure de linéarité.

Formellement, $r$ compare la façon dont $x$ et $y$ s'écartent ensemble de leurs moyennes (la covariance) à leurs dispersions propres :

r = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \;\sum (y_i - \bar{y})^2}} = \dfrac{s_{xy}}{s_{x}\,s_{y}}

Quand un point est « haut en $x$ » et « haut en $y$ » en même temps, il pousse $r$ vers le positif ; s'il est « haut en $x$ » mais « bas en $y$ », il le tire vers le négatif. Le dénominateur normalise le tout entre $-1$ et $+1$ .

03 · r² : la part de variance liée

Le nombre le plus parlant n'est pas $r$ mais son carré, $r^2$ . Il s'interprète comme la fraction de la variabilité de $y$ qui est liée à $x$ (on dit aussi « expliquée » par $x$ , au sens statistique) :

r^2 = \text{part de la variance de } y \text{ liée à } x

Un $r = 0{,}70$ paraît fort ; pourtant $r^2 = 0{,}49$ : moins de la moitié de la variabilité est liée, le reste vient d'autres facteurs. C'est pourquoi doubler $r$ ne double pas la « force » perçue : la relation entre les deux est quadratique.

$r$	0,30	0,50	0,70	0,90
$r^2$	0,09	0,25	0,49	0,81

04 · Le calcul sur notre exemple

Reprenons les cinq adultes du chapitre C-1 (âge $x$ , PAS $y$ ). Les moyennes valent $\bar{x} = 50$ ans et $\bar{y} = 137$ mmHg. En sommant les écarts à la moyenne, on obtient :

\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 800, \quad \sum (x_i-\bar{x})^2 = 1000, \quad \sum (y_i-\bar{y})^2 = 776

d'où

r = \dfrac{800}{\sqrt{1000 \times 776}} = \dfrac{800}{880{,}9} \approx 0{,}91

La liaison est forte. Et surtout : $r^2 \approx 0{,}82$ . Autrement dit, 82 % de la variabilité de la PAS, dans cet échantillon, va de pair avec l'âge ; les 18 % restants tiennent à tout le reste (poids, hérédité, stress du prélèvement, hasard de mesure).

05 · Tester r : tout dépend de n

Un $r$ calculé sur peu de sujets peut être élevé par pur hasard. Sur 3 points, il est facile d'obtenir $r = 0{,}8$ sans aucune vraie liaison. La question devient donc : ce $r$ est-il assez grand, compte tenu de $n$ , pour qu'on écarte l'hypothèse « aucune corrélation dans la population » ?

On teste $r$ par la statistique, qui suit une loi de Student à $n-2$ degrés de liberté :

t = \dfrac{r\,\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}

Le seuil de $r$ à partir duquel on conclut à une liaison (au risque $5,%$ ) s'abaisse quand $n$ grandit :

$n$	5	10	30	100
$r$ significatif à 5 %	0,88	0,63	0,36	0,20

Sur nos 5 patients, $r = 0{,}91$ dépasse le seuil $0{,}88$ : la liaison est significative ( $t \approx 3{,}8$ pour $3$ degrés de liberté). Mais le même $r = 0{,}45$ serait non significatif sur 8 sujets et hautement significatif sur 200 : le chiffre seul ne veut rien dire sans son effectif.

06 · Piège : un r trompeur

La règle d'or : on ne juge jamais $r$ sans avoir vu le nuage de points ni connu $n$ .

07 · À retenir

$r$ résume par un seul nombre l'intensité d'une liaison linéaire : signe = sens, valeur absolue = force, toujours entre $-1$ et $+1$ .
$r = 0$ signifie « pas de liaison linéaire », pas « pas de liaison » (penser à la courbe en U).
$r^2$ est la part de variance de $y$ liée à $x$ : c'est lui qu'il faut interpréter ( $r = 0{,}50 \Rightarrow$ seulement 25 % de variance liée).
Un $r$ ne se juge jamais sans $n$ : le seuil de significativité baisse quand l'effectif monte ; on teste $r$ par $t = r\sqrt{n-2}/\sqrt{1-r^2}$ .
Significatif ≠ fort : sur de très grands échantillons, un $r$ minuscule peut être significatif tout en étant sans portée.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Une étude trouve r = 0,70 entre deux dosages. Quelle part de la variance de l'un est « liée » à l'autre ?

Q2. Deux études trouvent le même r = 0,45, l'une sur 8 individus, l'autre sur 200. Que peut-on dire ?

Exercices d'application

Un coefficient de corrélation vaut r = 0,70. Quelle part (en %) de la variance d'une variable est « expliquée » par l'autre ?