Corrélation et régression : deux questions distinctes

La corrélation répond à une question d'intensité : quand l'un augmente, l'autre suit-il fidèlement, ou de façon lâche ?

Le point capital est que cette question est symétrique. Demander « l'âge et la PAS varient-ils ensemble ? » revient exactement à demander « la PAS et l'âge varient-ils ensemble ? ». Il n'y a ni cause ni effet, ni variable à expliquer ni variable explicative : juste deux caractères qui dansent plus ou moins en accord. Inverser les rôles ne change rien au résultat.

La corrélation se résume en un seul nombre, le coefficient $r$, compris entre $-1$ et $+1$, que le chapitre suivant détaille.

La régression pose une tout autre question : connaissant l'âge d'un patient, quelle PAS puis-je lui prédire ? Ici, un des deux caractères devient la variable à expliquer (la PAS, notée $y$), l'autre la variable explicative (l'âge, noté $x$).

Ce choix brise la symétrie. Prédire la PAS à partir de l'âge n'est pas le même calcul que prédire l'âge à partir de la PAS — les deux droites obtenues sont différentes. La régression fournit une formule, la droite $y = a,x + b$, qui permet de calculer une valeur attendue.

On peut avoir besoin de l'une sans l'autre : la corrélation dit s'il vaut la peine de prédire ; la régression dit comment prédire.

Prenons cinq adultes, âge $x$ (ans) et PAS $y$ (mmHg) :

Âge $x$	30	40	50	60	70
PAS $y$	119	137	131	141	157

Ce même tableau nourrit les deux questions.

• Lecture corrélation : les deux colonnes montent globalement de concert. On mesurera plus loin $r \approx 0{,}91$ : une liaison forte, mais pas parfaite (le sujet de 40 ans, à 137 mmHg, dépasse celui de 50 ans à 131).
• Lecture régression : on cherchera la droite qui, à chaque âge, propose la meilleure PAS attendue. On trouvera $y = 0{,}80,x + 97$, soit environ $+0{,}80$ mmHg par année d'âge.

Le même nuage de points sert donc à deux fins : le décrire (corrélation) et s'en servir pour prévoir (régression). Ne jamais confondre la description avec la prédiction.

Retenez la hiérarchie : d'abord se demander s'il y a une liaison et combien elle est forte (corrélation), ensuite seulement comment la modéliser pour prédire (régression), et jamais en déduire mécaniquement une cause. Le chapitre C-5 reviendra en détail sur ce dernier piège.

• Face à deux caractères quantitatifs, deux questions distinctes : la corrélation (intensité de la liaison) et la régression (prédiction d'une variable par une autre).
• La corrélation est symétrique : échanger les deux variables ne change rien ; elle se résume par un seul nombre $r \in [-1 ; +1]$.
• La régression est asymétrique : on choisit une variable à expliquer et une variable explicative ; elle fournit une droite $y = a,x + b$ et donc une prédiction.
• Un même nuage de points se lit des deux façons : décrire ($r$) puis, si utile, prédire (la droite).
• Une liaison, même forte, n'implique ni sens de causalité ni causalité tout court.