Petits échantillons et conditions d'application

Souvenez-vous du théorème central limite : la moyenne d'un échantillon tend vers une loi normale quelle que soit la distribution des individus, pourvu que $n$ soit assez grand. C'est ce qui autorisait à ne pas trop se soucier de la forme des données brutes.

Sur un petit échantillon, ce filet de sécurité disparaît. Avec $n = 6$, la moyenne n'est normale que si les données elles-mêmes le sont, ou presque.

Conséquence pratique : sur un petit effectif, il faut se demander sérieusement si la grandeur mesurée peut être supposée normale (souvent oui pour une taille, une concentration ; souvent non pour un délai de survie ou un titre d'anticorps, fortement asymétriques).

Un second problème surgit. Sur peu de données, non seulement la moyenne est mal connue, mais la variance $s^2$ elle-même est mal estimée : avec 5 valeurs, $s$ peut tomber, par malchance, bien trop petit.

Si l'on utilisait la loi normale (qui suppose $\sigma$ connu), on serait trop optimiste. La loi de Student corrige exactement cela : elle a la même cloche que la loi normale mais des queues plus épaisses, d'autant plus épaisses que $n$ est petit. Elle exige donc un $t$ plus grand pour déclarer une différence — une prudence supplémentaire qui compense l'incertitude sur $s$.

Quelques seuils à 5 % (bilatéral) montrent le prix de la petitesse :

• $\nu = 4 \rightarrow 2{,}78$
• $\nu = 9 \rightarrow 2{,}26$
• $\nu = 30 \rightarrow 2{,}04$
• $\nu \to \infty \rightarrow 1{,}96$ (loi normale)

Avec 5 sujets ($\nu = 4$), il faut $t > 2{,}78$ ; avec un grand échantillon, 1,96 suffit. La loi de Student est la loi des petits échantillons.

Un petit échantillon a une conséquence redoutable et souvent oubliée : sa faible puissance. L'erreur-standard $s/\sqrt{n}$ est grande, l'intervalle de confiance large, le seuil de Student élevé. Résultat : même un effet réel et important a de bonnes chances de passer inaperçu.

Que faire si, sur un petit échantillon, la normalité est manifestement fausse (données très asymétriques, valeur extrême isolée) ? Le test $t$ n'est alors plus fiable. Trois voies :

1. Transformer les données (par exemple passer au logarithme) pour les rapprocher de la normalité — fréquent pour les concentrations et les titres.
2. Recourir aux tests non paramétriques (Mann-Whitney, Wilcoxon…), qui ne supposent pas la normalité et travaillent sur les rangs plutôt que sur les valeurs.
3. Augmenter l'effectif quand c'est possible — le remède le plus radical, qui restaure à la fois la normalité de la moyenne et la puissance.

• Les grands échantillons pardonnent (TCL) ; les petits échantillons ne pardonnent rien.
• Sur petit $n$, la normalité des données redevient une vraie condition : le théorème central limite ne la remplace plus.
• La loi de Student, à queues épaisses, compense l'incertitude sur la variance estimée : elle exige un $t$ plus grand (2,78 pour $\nu=4$ contre 1,96 pour $n$ grand).
• Petit $n$ = faible puissance : un résultat non significatif ne prouve pas l'absence d'effet (« absence de preuve » ≠ « preuve d'absence »).
• Si la normalité est douteuse : transformer les données, employer un test non paramétrique, ou augmenter l'effectif.