Plans d'expérience à plusieurs facteurs

Fixons trois mots :

• Facteur : une variable que l'expérimentateur fait varier (la dose, la température, le sexe…).
• Niveau ou modalité : les valeurs prises par un facteur (dose = faible / forte ; repas = à jeun / nourri).
• Effet : de combien la réponse change quand on passe d'un niveau à l'autre d'un facteur.

Un plan à deux facteurs, ayant chacun deux niveaux, est un plan « 2 × 2 » : quatre combinaisons de conditions à tester. Trois facteurs à deux niveaux donnent un plan « 2 × 2 × 2 », soit huit combinaisons.

Le concept qui justifie à lui seul les plans à plusieurs facteurs est l'interaction.

Exemple parlant. Un antibiotique gagne 5 points d'efficacité quand on double la dose chez le patient à jeun — mais seulement 1 point chez le patient nourri. L'effet de la dose n'est pas le même selon l'état digestif : dose et repas interagissent.

Sans interaction, les effets sont additifs : l'effet de la dose est le même quel que soit le repas, on peut les étudier séparément. Avec interaction, étudier un facteur en ignorant l'autre donne une image fausse — la moyenne masque le fait que la réponse change de nature selon le contexte.

Deux stratégies s'opposent pour étudier deux facteurs.

Un facteur à la fois : on fixe le repas « à jeun », on fait varier la dose ; puis on fixe la dose et on fait varier le repas. Simple, mais on ne teste jamais les combinaisons croisées — impossible de voir une interaction, et les sujets d'une phase ne servent pas à l'autre.

Plan factoriel : on teste toutes les combinaisons des niveaux (les 4 cases du 2 × 2). Trois bénéfices majeurs :

1. On estime l'effet de chaque facteur.
2. On estime leur interaction — impossible autrement.
3. Meilleur rendement : chaque sujet contribue à l'estimation des deux effets à la fois. Pour une précision donnée, un plan factoriel demande moins de sujets que deux études séparées.

Réponse moyenne (score d'efficacité) d'un antibiotique. Facteurs : dose (faible/forte) et prise (à jeun/nourri).

	À jeun	Nourri
Dose faible	20	19
Dose forte	30	24

Lisons les effets :

• Effet de la dose à jeun : $30 - 20 = 10$.
• Effet de la dose nourri : $24 - 19 = 5$.

Ces deux effets diffèrent (10 contre 5) : c'est le signe d'une interaction dose × prise. La dose est plus efficace à jeun. Un plan « un facteur à la fois » aurait rapporté un unique « effet dose » moyen (~7,5) en cachant totalement ce contraste cliniquement essentiel.

L'analyse de la variance à deux facteurs (extension de B-7) fournit un test $F$ pour chaque facteur et un test $F$ pour l'interaction, quantifiant la part de variabilité imputable à chacun.

• Un facteur est une variable contrôlée ; ses valeurs sont ses niveaux ; son effet est la variation de réponse qu'il induit.
• Interaction : l'effet d'un facteur dépend du niveau d'un autre facteur (les effets ne sont pas additifs).
• Un plan factoriel teste toutes les combinaisons de niveaux : il estime chaque effet et les interactions, avec un meilleur rendement des sujets qu'une étude « un facteur à la fois ».
• L'ANOVA à plusieurs facteurs donne un test $F$ par facteur et un test $F$ pour l'interaction.
• Pièges : interpréter un effet principal en ignorant une interaction ; l'explosion du nombre de conditions (→ plans fractionnaires).