Comparaison de plusieurs moyennes : l'analyse de la variance

Chaque test à 5 % accepte 5 % de chances de conclure à tort à une différence. Un seul test : risque 5 %, acceptable. Mais si vous faites plusieurs tests indépendants, les risques s'accumulent. Pour $k$ comparaisons, le risque de se tromper au moins une fois est :

• 3 comparaisons : $1 - 0{,}95^3 \approx 14$
• 6 comparaisons : $1 - 0{,}95^6 \approx 26$
• 10 comparaisons : $1 - 0{,}95^{10} \approx 40$

Le nom surprend : pourquoi parler de variance pour comparer des moyennes ? Voici l'intuition, magnifique de simplicité.

On mesure la dispersion des données de deux façons :

• La variance intra-groupe : à quel point les individus s'écartent de la moyenne de leur propre groupe. C'est le bruit de fond, la variabilité naturelle, présente de toute façon.
• La variance inter-groupes : à quel point les moyennes des groupes s'écartent les unes des autres (autour de la moyenne générale).

Si les groupes ont tous la même vraie moyenne, ces deux variances mesurent la même chose : leur rapport tourne autour de 1. Mais si les moyennes diffèrent réellement, la variance inter gonfle — les moyennes s'éloignent bien plus que le simple bruit ne l'expliquerait.

Un $F$ grand signale que les écarts entre groupes dépassent les fluctuations à l'intérieur des groupes : les moyennes ne sont pas toutes égales.

Le cœur de l'ANOVA est une identité comptable : la variabilité totale des données se scinde exactement en deux morceaux additifs.

($SC$ = somme des carrés des écarts.) On divise chaque somme de carrés par ses degrés de liberté pour obtenir une variance moyenne (un « carré moyen », $CM$) :

où $k$ est le nombre de groupes et $N$ l'effectif total. On compare ce $F$ à la table de Fisher avec $\nu_1 = k-1$ et $\nu_2 = N-k$ degrés de liberté.

CRP (mg/L) sous trois doses, 5 patients par groupe :

• Dose faible : moyenne 12
• Dose moyenne : moyenne 9
• Dose forte : moyenne 6
• Moyenne générale : 9

Supposons les calculs conduisant à $SC_{\text{inter}} = 90$ et $SC_{\text{intra}} = 72$, avec $k = 3$ groupes et $N = 15$ sujets.

Avec $\nu_1 = 2$ et $\nu_2 = 12$, le seuil à 5 % vaut environ 3,9. Comme $7{,}5 > 3{,}9$, on rejette l'égalité : au moins une des trois doses diffère des autres.

L'analyse de la variance répond par oui ou non à une question globale : « toutes les moyennes sont-elles égales ? » Un $F$ significatif indique qu'il existe au moins une différence — mais il ne dit pas laquelle.

Pour identifier quels groupes diffèrent, on procède ensuite à des comparaisons post-hoc (tests de Tukey, de Bonferroni…), justement conçues pour maîtriser l'inflation du risque α. L'ordre est immuable :

• Comparer 3 moyennes ou plus par des tests $t$ répétés gonfle le risque α (14 % pour 3 comparaisons, ~40 % pour 10).
• L'analyse de la variance tranche d'un seul test la question « toutes les moyennes sont-elles égales ? ».
• Elle décompose la variabilité totale en une part inter-groupes (écart entre moyennes) et une part intra-groupe (bruit) : $SC_{\text{totale}} = SC_{\text{inter}} + SC_{\text{intra}}$.
• Statistique : $F = CM_{\text{inter}} / CM_{\text{intra}}$, comparée à la table de Fisher ($\nu_1 = k-1$, $\nu_2 = N-k$).
• Un $F$ significatif dit qu'une différence existe, pas laquelle → comparaisons post-hoc ensuite, jamais des $t$ bruts.