Comparaison de deux variances : le test F

Pour comparer deux moyennes, on faisait une différence. Pour deux variances, on fait un rapport. La logique : si les deux populations ont la même variance, le rapport des deux variances observées doit tourner autour de 1.

Par convention, on place la plus grande variance au numérateur, de sorte que $F \geq 1$ :

Attention : forcer la plus grande variance en haut revient à tester $H_1 : \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$, donc en bilatéral. Au risque global de 5 %, on lit alors la table à $\alpha/2 = 2{,}5,$ — sinon le vrai risque de première espèce est doublé (10 %).

• $F$ proche de 1 → les deux variances sont compatibles ; l'écart est du bruit d'échantillonnage.
• $F$ nettement supérieur à 1 (2, 3, 4…) → l'une des dispersions est réellement plus grande.

Toute la question est de savoir à partir de quel seuil $F$ devient « trop grand pour le hasard ».

Sous l'hypothèse d'égalité des variances, $F$ suit une loi de Fisher-Snedecor, qui dépend de deux nombres de degrés de liberté : celui du numérateur $\nu_1 = n_1 - 1$ et celui du dénominateur $\nu_2 = n_2 - 1$.

La table de $F$ se lit donc à double entrée : une colonne pour $\nu_1$, une ligne pour $\nu_2$. On y trouve le seuil au-delà duquel on rejette l'égalité des variances (typiquement au risque de 5 %).

On mesure la répétabilité de deux techniques de dosage de l'hémoglobine (g/dL).

• Technique A : $n_1 = 13$, variance $s_1^2 = 0{,}36$
• Technique B : $n_2 = 16$, variance $s_2^2 = 0{,}12$

La plus grande variance est celle de A, donc au numérateur :

avec $\nu_1 = 12$ et $\nu_2 = 15$ degrés de liberté. Comme le test est bilatéral, on lit la table à 2,5 % : le seuil vaut alors $F \approx 2{,}96$. Comme $3{,}0 > 2{,}96$, on rejette — de justesse — l'égalité : la technique A est significativement plus dispersée (moins reproductible) que la technique B. (Lu par erreur à 5 %, le seuil serait 2,5 et l'on conclurait bien trop facilement.)

Au-delà de son intérêt propre, le test $F$ joue un rôle de garde-fou avant le test $t$. Rappelons (B-4) que le test $t$ classique suppose l'égalité des variances pour fondre les deux groupes en une variance commune. Comment le vérifier ? Précisément par un test $F$ sur les deux variances.

La démarche enchaînée est donc :

1. Test $F$ sur les deux variances.
2. Si $F$ non significatif (variances compatibles) → test $t$ classique, avec variance commune.
3. Si $F$ significatif (variances trop différentes) → variante de Welch, qui n'agrège pas les variances.

• Comparer deux variances (dispersions) se fait par un rapport, pas une différence.
• Statistique : $F = s_1^2 / s_2^2$ avec la plus grande variance au numérateur (donc $F \geq 1$).
• La loi $F$ dépend de deux degrés de liberté $\nu_1 = n_1-1$ et $\nu_2 = n_2-1$ ; elle est asymétrique et positive.
• $F$ proche de 1 → variances compatibles ; $F$ nettement > 1 → dispersions réellement différentes.
• Usage principal : test préliminaire de l'égalité des variances avant un test $t$ ; brique de l'analyse de la variance.