Comparaison de deux moyennes : le test t de Student

Reprenons B-1 : même si les deux populations avaient exactement la même moyenne, deux échantillons donneraient des moyennes légèrement différentes, par pur hasard. Le test consiste à rapporter l'écart observé à l'ampleur de ces fluctuations naturelles.

• Le numérateur $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ est le signal : l'écart entre les deux moyennes.
• Le dénominateur $s_d$ est le bruit : l'erreur-standard de cette différence, soit de combien la différence fluctuerait si le hasard seul jouait.

Si $t$ est petit (proche de 0 ou de 1), l'écart n'excède pas le bruit ordinaire : rien de probant. Si $t$ est grand (2, 3, 4…), l'écart dépasse largement ce que le hasard produirait : la différence est significative.

On combine d'abord la dispersion des deux groupes en une variance commune $s^2$ (moyenne pondérée par les degrés de liberté) :

puis l'erreur-standard de la différence :

La statistique $t$ se compare à la loi de Student à $\nu = n_1 + n_2 - 2$ degrés de liberté. Cette loi ressemble à la loi normale mais avec des queues un peu plus épaisses, d'autant plus marquées que $\nu$ est petit.

On compare la baisse de pression systolique (mmHg) obtenue par deux traitements.

• Groupe A : $n_1 = 10$, $\bar{x}_1 = 18{,}0$, $s_1 = 5{,}0$
• Groupe B : $n_2 = 10$, $\bar{x}_2 = 12{,}0$, $s_2 = 4{,}0$

Variance commune :

Erreur-standard de la différence :

Statistique de test :

Avec $\nu = 18$ degrés de liberté, la valeur seuil de la table à 5 % (bilatéral) est 2,10. Comme $2{,}97 > 2{,}10$, on rejette l'hypothèse d'égalité : la différence de 6 mmHg entre les deux traitements est significative.

La table donne, pour chaque nombre de degrés de liberté $\nu$ et chaque risque $\alpha$, la valeur seuil que $|t|$ doit dépasser. Quelques repères utiles (bilatéral, $\alpha = 5$) :

• $\nu = 10 \rightarrow 2{,}23$
• $\nu = 20 \rightarrow 2{,}09$
• $\nu = 30 \rightarrow 2{,}04$
• $\nu \to \infty \rightarrow 1{,}96$ (la loi normale)

Deux enseignements : le seuil diminue quand $\nu$ augmente (plus de données, moins d'exigence sur $t$), et il converge vers la valeur 1,96 de la loi normale pour les grands échantillons.

Le test $t$ classique repose sur trois hypothèses :

1. Indépendance des observations (les deux groupes sont distincts, aucun sujet dans les deux).
2. Normalité approximative des données dans chaque groupe — condition peu exigeante dès que $n$ dépasse ~30 (théorème central limite), mais à surveiller sur les petits échantillons.
3. Égalité des variances (homoscédasticité) : les deux groupes ont des dispersions comparables, ce qui justifie de les fondre en un $s^2$ commun.

• Le test $t$ compare l'écart des moyennes au bruit attendu : $t = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)/s_d$.
• $s_d$ est l'erreur-standard de la différence, bâtie sur une variance commune $s^2$ pondérée par les degrés de liberté.
• On compare $|t|$ à la table de Student à $\nu = n_1 + n_2 - 2$ degrés de liberté ; le seuil tend vers 1,96 pour $n$ grand.
• Conditions : indépendance, normalité (souple si $n$ grand), égalité des variances.
• Variances inégales → test de Welch ; données appariées → test des couples (B-5), pas le $t$ à deux échantillons.