Précision d'une moyenne ; comparaison à une valeur théorique

On sait (chapitre B-1) que la moyenne observée $\bar{x}$ fluctue autour de $\mu$ avec une erreur-standard $s/\sqrt{n}$. L'intervalle de confiance à 95 % encadre $\bar{x}$ de part et d'autre :

Le coefficient $t$ vient de la table de Student, avec $n-1$ degrés de liberté. Pour un grand échantillon, $t \approx 2$ (précisément 1,96) ; pour un petit échantillon, $t$ est un peu plus grand (par exemple 2,26 pour $n = 10$).

On mesure la glycémie à jeun chez $n = 25$ volontaires. On trouve $\bar{x} = 5{,}2$ mmol/L et $s = 0{,}6$ mmol/L. L'erreur-standard vaut :

Pour $n-1 = 24$ degrés de liberté, la table donne $t \approx 2{,}06$. D'où la demi-largeur :

L'intervalle de confiance à 95 % est donc :

On peut affirmer, avec 95 % de confiance, que la vraie glycémie moyenne de cette population est comprise entre 4,95 et 5,45 mmol/L.

Souvent, on veut savoir si une moyenne s'écarte d'une valeur de référence connue $\mu_0$ : la norme d'un dosage, une valeur cible, un standard réglementaire.

La règle est simple et se lit directement sur l'intervalle de confiance :

Suite de l'exemple : la valeur de référence de glycémie à jeun est $\mu_0 = 5{,}0$ mmol/L. Elle appartient à l'intervalle [4,95 ; 5,45]. Conclusion : la glycémie moyenne de cet échantillon ne diffère pas significativement de la norme. Formellement, cela revient à calculer $t = (\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n})$ et à le comparer à la table — les deux approches donnent toujours la même décision.

La demi-largeur de l'intervalle est $i = t \cdot s/\sqrt{n}$. Fixez d'abord la précision $i$ que vous voulez atteindre, puis renversez la formule pour trouver l'effectif :

Exemple : vous visez une glycémie moyenne connue à ±0,10 mmol/L près (donc $i = 0{,}10$), en supposant $s \approx 0{,}6$ et $t \approx 2$ :

Remarquez le carré : viser une précision deux fois plus fine (passer de 0,20 à 0,10) exige quatre fois plus de sujets. La précision d'une moyenne est un luxe coûteux — c'est encore le $\sqrt{n}$ à l'œuvre.

• Une moyenne se donne toujours avec sa précision : l'intervalle de confiance $\bar{x} \pm t,s/\sqrt{n}$.
• Le coefficient $t$ (table de Student, $n-1$ ddl) vaut environ 2 pour un grand échantillon, un peu plus pour un petit.
• Comparaison à une référence $\mu_0$ : si $\mu_0$ est dans l'IC, pas de différence significative ; si elle est dehors, différence au risque de 5 %.
• Nombre de sujets : $n \approx (t,s/i)^2$ ; diviser la largeur par 2 exige de quadrupler l'effectif.
• L'IC de la moyenne encadre le centre de la population, jamais l'étalement des individus.