Estimer la moyenne et la variance d'une population

Pour la moyenne, l'intuition tombe juste : la meilleure estimation de la moyenne de la population $\mu$ est tout simplement la moyenne de l'échantillon :

Prenons la kaliémie de 5 patients : 3,8 — 4,2 — 4,0 — 4,5 — 4,0 mmol/L. Leur somme vaut 20,5, donc

Cette valeur est un estimateur sans biais : si l'on répétait l'échantillonnage un très grand nombre de fois, la moyenne des $\bar{x}$ obtenus tomberait pile sur $\mu$. Rien de subtil ici — la difficulté est ailleurs.

La variance mesure la dispersion : la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. On serait tenté d'écrire, très naturellement :

Or cette formule sous-estime systématiquement la vraie variance. La bonne estimation utilise $(n-1)$ au dénominateur :

Sur nos 5 kaliémies, les écarts à 4,1 sont −0,3 ; +0,1 ; −0,1 ; +0,4 ; −0,1. Somme des carrés :

Diviser par $n = 5$ aurait donné 0,056, soit une dispersion trompeusement plus faible.

Voici l'idée profonde. Les écarts sont calculés autour de $\bar{x}$, la moyenne de l'échantillon, et non autour de la vraie moyenne $\mu$ (qu'on ignore). Or, par construction, les écarts à $\bar{x}$ ont une propriété rigide : leur somme est toujours nulle.

Conséquence : une fois que vous connaissez $n-1$ de ces écarts, le dernier est entièrement déterminé — il n'a plus aucune liberté. Sur $n$ écarts, seuls $n-1$ sont réellement « libres » : c'est le nombre de degrés de liberté.

$\bar{x}$ est, par définition, le point le plus proche possible de toutes les données de l'échantillon. Les écarts à $\bar{x}$ sont donc un peu plus petits que les écarts à $\mu$. Diviser par $n-1$ au lieu de $n$ compense exactement ce rétrécissement.

Un estimateur est sans biais s'il tombe juste en moyenne : en le calculant sur une infinité d'échantillons, la moyenne de ses valeurs coïncide avec la vraie valeur cherchée.

• $\bar{x}$ est sans biais pour $\mu$.
• $s^2$ avec $(n-1)$ est sans biais pour $\sigma^2$.
• La version avec $n$ est biaisée : elle vise trop bas en moyenne.

Attention : « sans biais » ne veut pas dire « exact ». Sur votre échantillon précis, $\bar{x}$ peut fort bien s'écarter de $\mu$. Le biais parle du comportement moyen à long terme, pas d'une réalisation isolée.

• La meilleure estimation de $\mu$ est la moyenne observée $\bar{x}$ : estimateur sans biais.
• La variance de la population s'estime par $s^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2$ : le dénominateur est $(n-1)$, pas $n$.
• Raison : les écarts sont pris autour de $\bar{x}$, dont la somme est nulle ; il ne reste que $n-1$ degrés de liberté.
• Diviser par $n$ sous-estime la variance (estimateur biaisé) ; le biais est surtout sensible quand $n$ est petit.
• Sans biais = juste en moyenne sur tous les échantillons, ce qui n'implique pas exact sur un échantillon donné.