Fluctuations d'échantillonnage d'une moyenne : la loi normale

L'intuition tient en une phrase : dans une moyenne, les écarts se compensent. Sur un groupe de 25 sujets, il y a de fortes chances que quelques valeurs élevées soient tempérées par quelques valeurs basses. Les extrêmes ne peuvent plus tirer le résultat tout seuls ; ils se neutralisent partiellement.

Plus le groupe est grand, plus cette compensation est efficace. Une moyenne sur 4 sujets reste sensible à un seul cas atypique ; une moyenne sur 400 l'ignore presque totalement.

Supposons une population dont la pression artérielle systolique a pour moyenne $\mu = 125$ mmHg et pour écart-type $\sigma = 16$ mmHg. Les individus, pris un à un, s'étalent largement : de 95 à 155 mmHg sans surprise.

Si vous tirez des échantillons de taille $n$ et que vous notez chaque fois la moyenne obtenue, ces moyennes dessinent à leur tour une distribution — centrée sur la même valeur $\mu = 125$, mais bien plus étroite. Et cette distribution des moyennes prend une forme régulière en cloche : la loi normale.

On mesure la largeur de la distribution des moyennes par son écart-type, appelé erreur-standard de la moyenne (ES). Sa formule est d'une simplicité remarquable :

où $\sigma$ est l'écart-type des individus et $n$ la taille de l'échantillon.

Reprenons la pression artérielle ($\sigma = 16$ mmHg). Pour $n = 64$ sujets :

Les individus s'étalaient sur ±16 mmHg ; les moyennes d'échantillons de 64 sujets ne s'écartent plus que de ±2 mmHg autour de 125. La précision a été multipliée par 8.

Un détail magnifique se cache dans l'exemple : nous n'avons jamais eu besoin de supposer que la pression artérielle des individus suivait, elle, une loi normale.

C'est le théorème central limite : quelle que soit la forme de la distribution des individus — symétrique, asymétrique, à deux bosses —, la distribution des moyennes tend vers une loi normale dès que $n$ est suffisamment grand (en pratique, souvent $n \geq 30$ suffit).

Autrement dit, la loi normale n'est pas une hypothèse à vérifier sur vos données brutes : c'est un cadeau que la moyenne fabrique elle-même. C'est ce qui rend les méthodes de ce chapitre si universelles.

• Une moyenne fluctue beaucoup moins qu'un individu, car les écarts se compensent.
• La dispersion des moyennes se mesure par l'erreur-standard : $\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}$.
• Pour diviser l'erreur-standard par 2, il faut quadrupler l'effectif (rôle du $\sqrt{n}$).
• Théorème central limite : la moyenne suit approximativement une loi normale même si les individus ne le font pas, dès que $n$ est assez grand.
• Ne pas confondre écart-type (variabilité des sujets) et erreur-standard (précision de la moyenne).