Deux variables qualitatives

Petits échantillons : le test exact de Fisher

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

Quand les effectifs attendus sont trop faibles pour le χ² : calculer directement la probabilité exacte des tableaux, à marges fixées.

01 · Quand le χ² n'a plus le droit de parler

Toutes les méthodes précédentes — écart-réduit, χ² — reposent sur l'approximation normale, valable seulement si les effectifs sont assez grands. La règle rappelée à chaque chapitre : les effectifs attendus doivent dépasser 5.

Que faire d'un petit essai pilote ? Considérons deux traitements comparés sur 12 patients :

	Guéris	Non guéris	Total
Traitement A	5	1	6
Traitement B	2	4	6
Total	7	5	12

Les taux affichés sont spectaculaires : 83 % contre 33 %. Mais l'effectif attendu de la case « A / non guéris » vaut $6 \times 5 / 12 = 2{,}5$ , bien en dessous de 5. Le χ² n'est pas valide ici. Il faut renoncer à toute approximation et calculer exactement.

02 · L'idée : fixer les marges et compter

Le test exact de Fisher raisonne « à marges fixées ». On considère comme immuables les totaux : 6 patients par traitement, 7 guéris et 5 non guéris au total. On se demande alors :

Parmi toutes les façons de répartir 7 guérisons et 5 échecs dans ce tableau sans changer les marges, quelle est la probabilité de tomber sur une répartition aussi déséquilibrée que celle observée ?

Le tableau est entièrement déterminé par une seule case (1 degré de liberté). Faire varier la case « A / guéris » de 1 à 6 engendre toutes les tables possibles — la borne vient des marges : une case varie de $\max(0,\ \text{total ligne} + \text{total colonne} - N)$ à $\min(\text{total ligne},\ \text{total colonne})$ , ici de $\max(0, 6+7-12)=1$ à $\min(6,7)=6$ . Sous $H_0$ (les deux traitements se valent), chacune a une probabilité que l'on sait calculer exactement.

03 · La probabilité d'un tableau

Pour un tableau 2 × 2 de cases $a, b, c, d$ et de total $N$ , la probabilité exacte sous $H_0$ , marges fixées, est donnée par la loi hypergéométrique :

P = \dfrac{(a+b)!\,(c+d)!\,(a+c)!\,(b+d)!}{N!\;a!\,b!\,c!\,d!}

Au numérateur, les factorielles des quatre marges ; au dénominateur, celle du total et des quatre cases. Pour notre tableau observé ( $a=5,\ b=1,\ c=2,\ d=4$ ) :

P_{\text{obs}} = \dfrac{6!\;6!\;7!\;5!}{12!\;5!\;1!\;2!\;4!} \approx 0{,}114

Ce tableau précis a donc environ 11 % de chances de survenir par hasard, à marges fixées. Mais ce n'est pas encore le degré de signification.

04 · Sommer les tableaux extrêmes

Comme pour tout test, le degré de signification n'est pas la probabilité du tableau observé seul, mais celle d'un résultat au moins aussi extrême. Dans le sens « A supérieur à B », la seule table plus extrême que la nôtre est celle où A guérit tout le monde :

	Guéris	Non guéris
Traitement A	6	0
Traitement B	1	5

Sa probabilité :

P = \dfrac{6!\;6!\;7!\;5!}{12!\;6!\;0!\;1!\;5!} \approx 0{,}008

Le degré de signification unilatéral additionne les deux :

p_{\text{unil.}} = P_{\text{obs}} + P_{\text{extrême}} \approx 0{,}114 + 0{,}008 = 0{,}122

Comme le reste du cours raisonne en bilatéral (on n'avait pas fait de pari sur le sens avant l'expérience), c'est le $p$ bilatéral qu'on compare au seuil : en sommant aussi les tables également extrêmes de l'autre côté, il vaut ici $p_{\text{bil.}} \approx 0{,}24$ . On garde donc 0,24 pour la décision.

05 · La leçon des petits nombres

Malgré des taux de 83 % contre 33 %, on obtient $p \approx 0{,}24 > 0{,}05$ : la différence n'est pas significative.

C'est déstabilisant, mais parfaitement logique. Avec seulement 6 patients par groupe, même une différence aussi apparente peut se produire par hasard près d'une fois sur quatre. Ici le χ² (non corrigé) aurait donné $3{,}09$ , donc la même conclusion — mais cette valeur n'a aucune garantie : l'effectif attendu de 2,5 invalide l'approximation. Seul le test exact fournit un $p$ légitime.

06 · À retenir

Le test exact de Fisher remplace le χ² sur un tableau 2 × 2 quand un effectif attendu est inférieur à 5.
Il raisonne à marges fixées et calcule la probabilité exacte de chaque tableau par la loi hypergéométrique : $P = \dfrac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{N!,a!,b!,c!,d!}$ .
Le degré de signification somme la probabilité du tableau observé et de tous les tableaux au moins aussi extrêmes.
Aucune approximation ni condition d'effectif : c'est la référence pour les petits échantillons.
Leçon : un fort pourcentage sur peu de sujets peut rester non significatif — méfiez-vous des petits effectifs.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Quand préfère-t-on le test exact de Fisher au χ² sur un tableau 2 × 2 ?

Q2. Sur quoi repose le calcul du test exact de Fisher ?

Q3. Pour obtenir le degré de signification, le test de Fisher additionne :