Deux variables qualitatives

Le tableau 2 × 2 et la comparaison de plusieurs pourcentages

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

Le cas particulier du tableau à 1 degré de liberté, son équivalence avec l'écart-réduit de deux pourcentages et la correction de continuité.

01 · Le tableau le plus fréquent

Le tableau 2 × 2 — deux lignes, deux colonnes — est de loin le plus rencontré : exposé / non exposé croisé avec malade / non malade, traité / témoin croisé avec succès / échec.

Prenons une étude de cohorte sur un facteur de risque :

	Malades	Non malades	Total
Exposés	40	60	100
Non exposés	25	75	100
Total	65	135	200

La proportion de malades est de 40 % chez les exposés contre 25 % chez les non exposés. On veut tester si l'exposition est liée à la maladie. C'est le χ² d'indépendance du chapitre précédent, appliqué à un tableau minimal — un cas si central qu'il mérite un chapitre à lui seul.

02 · Un seul degré de liberté

Appliquons la règle des degrés de liberté à ce format :

\text{ddl} = (l-1)(c-1) = (2-1)(2-1) = 1

Une seule case est libre. Dès que les quatre totaux (marges) sont fixés et qu'une case est connue, les trois autres se déduisent par soustraction. Tout le tableau tient dans un unique nombre.

Les effectifs attendus sous indépendance se calculent comme avant, par le produit des marges. Pour la case « exposés / malades » :

C = \dfrac{100 \times 65}{200} = 32{,}5

Par symétrie, les quatre attendus valent 32,5 ; 67,5 ; 32,5 ; 67,5. Chaque case s'écarte de son attendu de $\pm 7{,}5$ .

03 · Calcul du χ² et formule directe

\chi^2 = \dfrac{(40-32{,}5)^2}{32{,}5} + \dfrac{(60-67{,}5)^2}{67{,}5} + \dfrac{(25-32{,}5)^2}{32{,}5} + \dfrac{(75-67{,}5)^2}{67{,}5}

\chi^2 = 1{,}73 + 0{,}83 + 1{,}73 + 0{,}83 \approx 5{,}13

Pour un tableau 2 × 2 de cases $a, b, c, d$ , une formule directe évite de passer par les attendus :

\chi^2 = \dfrac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

Avec $a=40,\ b=60,\ c=25,\ d=75$ et $N=200$ : $ad - bc = 3000 - 1500 = 1500$ , d'où

\chi^2 = \dfrac{200 \times 1500^2}{100 \times 100 \times 65 \times 135} = \dfrac{450\,000\,000}{87\,750\,000} \approx 5{,}13

Pour 1 ddl, le seuil à 5 % est 3,84. Comme $5{,}13 > 3{,}84$ , l'association exposition–maladie est significative.

04 · Le pont avec la comparaison de deux pourcentages

Ce test 2 × 2 est exactement la comparaison de deux pourcentages du chapitre A-4. Vérifions. Proportions : $f_1 = 0{,}40$ (exposés), $f_2 = 0{,}25$ (non exposés), pourcentage commun $p_c = 65/200 = 0{,}325$ .

z = \dfrac{0{,}40 - 0{,}25}{\sqrt{0{,}325 \times 0{,}675 \times (\tfrac{1}{100} + \tfrac{1}{100})}} = \dfrac{0{,}15}{0{,}0662} \approx 2{,}26

Et $z^2 = 2{,}26^2 \approx 5{,}13 = \chi^2$ . Ce n'est pas une coïncidence :

05 · La correction de continuité

Le χ² est une loi continue que l'on applique à des effectifs entiers ; l'approximation surestime un peu la signification, surtout pour de petits effectifs. La correction de continuité de Yates rend le test plus prudent en rapprochant chaque écart de zéro d'une demi-unité :

\chi^2_{\text{c}} = \dfrac{N\,\big(|ad - bc| - \tfrac{N}{2}\big)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

Sur notre tableau : $|ad-bc| - N/2 = 1500 - 100 = 1400$ , d'où

\chi^2_{\text{c}} = \dfrac{200 \times 1400^2}{87\,750\,000} \approx 4{,}47

Le χ² corrigé (4,47) est plus faible que le brut (5,13) mais reste au-dessus de 3,84 : la conclusion tient. La correction ne change la décision que dans les cas limites.

06 · À retenir

Le tableau 2 × 2 est un χ² d'indépendance à 1 degré de liberté ; une seule case y est libre.
Formule directe : $\chi^2 = N(ad-bc)^2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]$ ; seuil à 5 % : 3,84.
Il est équivalent à la comparaison de deux pourcentages : $\chi^2 = z^2$ , mêmes conclusions.
La correction de continuité (Yates) diminue le χ² et rend le test plus prudent pour les effectifs modestes.
Effectifs attendus trop faibles (< 5) : ni le χ², ni Yates ne conviennent → test exact de Fisher.
Mesures appariées (mêmes sujets avant/après) : ni χ² ni Fisher, mais McNemar sur les paires discordantes.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Le χ² d'un tableau 2 × 2 possède combien de degrés de liberté ?

Q2. Quel lien existe entre l'écart-réduit z de deux pourcentages (A-4) et le χ² du tableau 2 × 2 correspondant ?

Q3. La correction de continuité (Yates) sur un tableau 2 × 2 a pour effet de :