Deux variables qualitatives

Le χ² d'indépendance et le tableau de contingence

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

Tester le lien entre deux caractères qualitatifs : effectifs attendus sous indépendance et degrés de liberté du tableau croisé.

01 · Croiser deux caractères qualitatifs

Le χ² d'ajustement comparait une répartition à une théorie connue d'avance. Mais la question la plus courante en biologie est autre : deux caractères qualitatifs sont-ils liés ?

Exemple. On soupçonne que le taux d'infection nosocomiale dépend du centre hospitalier. On dispose de trois centres, chacun avec 200 patients suivis :

Centre	Infection : oui	Infection : non	Total
Centre 1	20	180	200
Centre 2	30	170	200
Centre 3	40	160	200
Total	90	510	600

Ce tableau croisé s'appelle un tableau de contingence. Les taux d'infection observés sont 10 %, 15 % et 20 % : ils semblent croître. Mais ces écarts sont-ils réels, ou de simples fluctuations ? Ici, aucune répartition théorique n'est donnée : elle devra être construite à partir des données.

02 · Les effectifs attendus sous indépendance

L'hypothèse nulle est l'indépendance : le taux d'infection est le même partout, et seul le hasard crée les différences entre centres.

Sous cette hypothèse, le taux commun est le taux global : $90 / 600 = 15%$ . Si chaque centre suivait ce taux, on attendrait, pour ses 200 patients, $200 \times 15% = 30$ infections. On généralise par la règle du produit des marges :

C_{ij} = \dfrac{(\text{total de la ligne } i) \times (\text{total de la colonne } j)}{N}

Par exemple, pour la case « Centre 1 / oui » : $C = (200 \times 90)/600 = 30$ . Le tableau des effectifs attendus devient :

Centre	Oui (attendu)	Non (attendu)
Centre 1	30	170
Centre 2	30	170
Centre 3	30	170

L'écart entre observé et attendu saute aux yeux : le centre 1 compte 20 infections là où l'indépendance en prévoit 30 ; le centre 3 en compte 40.

03 · Calcul du χ² et degrés de liberté

On applique la même formule qu'au chapitre précédent, sur les six cases :

\chi^2 = \sum \dfrac{(O-C)^2}{C}

\chi^2 = \underbrace{\dfrac{(20-30)^2}{30} + \dfrac{(180-170)^2}{170}}_{\text{centre 1}} + \underbrace{0 + 0}_{\text{centre 2}} + \underbrace{\dfrac{(40-30)^2}{30} + \dfrac{(160-170)^2}{170}}_{\text{centre 3}}

\chi^2 = (3{,}33 + 0{,}59) + 0 + (3{,}33 + 0{,}59) \approx 7{,}84

Les degrés de liberté d'un tableau de contingence dépendent de sa forme. Une fois les totaux (marges) fixés, seules $(l-1)$ lignes et $(c-1)$ colonnes sont libres :

\text{ddl} = (l-1)(c-1) = (3-1)(2-1) = 2

04 · Conclusion

Pour 2 degrés de liberté, le seuil de la table à 5 % est 5,99. Notre $\chi^2 = 7{,}84$ le dépasse : on rejette l'indépendance (degré de signification $p \approx 0{,}02$ ).

Autrement dit, le taux d'infection dépend du centre : les différences entre 10 %, 15 % et 20 % sont trop marquées pour n'être que du bruit.

05 · Le χ² d'indépendance est un test global

La démarche est identique quelle que soit la taille du tableau : construire les attendus par le produit des marges, sommer les $(O-C)^2/C$ , et comparer au seuil pour $(l-1)(c-1)$ degrés de liberté. Le prochain chapitre examine le cas le plus courant et le plus simple : le tableau 2 × 2.

06 · À retenir

Un tableau de contingence croise deux caractères qualitatifs ; $H_0$ est leur indépendance.
Effectif attendu d'une case : $C = (\text{total ligne} \times \text{total colonne})/N$ (produit des marges).
On calcule $\chi^2 = \sum (O-C)^2/C$ sur toutes les cases.
Degrés de liberté : $\text{ddl} = (l-1)(c-1)$ ; on compare au seuil de la table (5,99 pour 2 ddl).
Un χ² significatif prouve une association, pas une causalité ; c'est un test global qu'il faut ensuite localiser via les contributions.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Dans un tableau de contingence, l'effectif attendu d'une case sous l'hypothèse d'indépendance vaut :

Q2. Pour un tableau à l lignes et c colonnes, le nombre de degrés de liberté est :

Q3. Un χ² d'indépendance significatif signifie que :