Deux variables qualitatives

Le test du χ² : ajustement à une répartition théorique

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

Comparer des effectifs observés à des effectifs attendus, calculer le χ², compter les degrés de liberté et lire la table.

01 · Au-delà de deux catégories

L'écart-réduit compare une proportion à une valeur, ou deux proportions entre elles. Mais bien des situations comportent plusieurs catégories à la fois.

Un exemple. On connaît, pour une population de référence, la répartition des groupes sanguins ABO : O 45 %, A 40 %, B 10 %, AB 5 %. On étudie 400 donneurs d'une autre région et l'on veut savoir si leur répartition s'écarte de cette référence.

On ne peut pas traiter chaque groupe séparément : il faut un test qui juge d'un coup l'écart global entre ce que l'on observe et ce que la théorie prévoit. C'est le rôle du test du χ² d'ajustement.

02 · Effectifs observés, effectifs attendus

Le χ² raisonne sur des effectifs (des comptages), jamais directement sur des pourcentages. Première étape : traduire les proportions théoriques en effectifs attendus sous $H_0$ , pour notre total de 400.

Groupe	Proportion théorique	Effectif attendu $C$	Effectif observé $O$
O	45 %	180	168
A	40 %	160	172
B	10 %	40	38
AB	5 %	20	22

L'hypothèse nulle affirme que la population étudiée suit la répartition de référence ; les écarts entre $O$ et $C$ ne seraient alors que des fluctuations d'échantillonnage.

03 · La statistique du χ²

On additionne, catégorie par catégorie, le carré de l'écart divisé par l'effectif attendu :

\chi^2 = \sum \dfrac{(O - C)^2}{C}

Le carré empêche les écarts positifs et négatifs de s'annuler ; la division par $C$ relativise chaque écart à la taille de la case attendue. Calcul :

\chi^2 = \dfrac{(168-180)^2}{180} + \dfrac{(172-160)^2}{160} + \dfrac{(38-40)^2}{40} + \dfrac{(22-20)^2}{20}

\chi^2 = 0{,}80 + 0{,}90 + 0{,}10 + 0{,}20 = 2{,}00

Un χ² proche de 0 signifie que l'observé colle à l'attendu ; plus il grandit, plus la répartition s'éloigne de la théorie.

04 · Degrés de liberté et lecture de la table

Pour juger si $\chi^2 = 2{,}00$ est grand, il faut savoir combien de catégories étaient libres de varier. Avec $k$ catégories dont le total est fixé, une fois $k-1$ effectifs connus, le dernier est imposé. Le nombre de degrés de liberté est donc :

\text{ddl} = k - 1 = 4 - 1 = 3

La table du χ² donne, pour chaque ddl, la valeur seuil au risque de 5 %. Quelques repères utiles à mémoriser :

ddl	Seuil à 5 %
1	3,84
2	5,99
3	7,81
4	9,49

Notre $\chi^2 = 2{,}00$ est très inférieur au seuil de 7,81. On ne rejette pas $H_0$ : la répartition des groupes sanguins observée est compatible avec la référence. L'écart global est de l'ordre de ce que le hasard produit couramment.

05 · Pièges du χ²

06 · À retenir

Le χ² d'ajustement compare une répartition observée à une répartition théorique sur plusieurs catégories.
On travaille sur des effectifs : $\chi^2 = \sum (O - C)^2 / C$ , où $C$ est l'effectif attendu sous $H_0$ .
Le carré évite les compensations ; la division par $C$ relativise chaque écart.
Degrés de liberté : $\text{ddl} = k - 1$ ; on compare le χ² au seuil de la table (3,84 pour 1 ddl, 5,99 pour 2, 7,81 pour 3…).
Conditions : effectifs attendus tous supérieurs à 5 ; un χ² non significatif signifie « compatible avec la théorie ».

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. La statistique du χ² d'ajustement se calcule par :

Q2. Pour un ajustement à k catégories dont les proportions théoriques sont fixées d'avance, le nombre de degrés de liberté est :

Q3. Le χ² calculé est plus petit que la valeur seuil de la table. On conclut :