Deux variables qualitatives

Comparaison de deux pourcentages observés

Racym Berrah, PharmD ORCID ·Stat & Biologie ·Dernière révision : 2026-07-09

L'écart-réduit de la différence de deux fréquences, avec le pourcentage commun estimé sous l'hypothèse nulle.

01 · Deux groupes, deux pourcentages

Le cas le plus fréquent en recherche clinique n'est pas de comparer un pourcentage à une référence théorique, mais de comparer deux groupes entre eux.

Un essai teste un traitement. Dans le groupe traité, 60 patients guérissent sur 200, soit 30 %. Dans le groupe placebo, 36 guérissent sur 200, soit 18 %. L'écart brut est de 12 points en faveur du traitement.

Est-ce une vraie supériorité, ou deux fluctuations qui, cette fois, sont tombées dans le bon sens ? Les deux fréquences fluctuent maintenant chacune autour de leur vraie valeur ; il faut tenir compte de la variabilité des deux groupes.

02 · L'hypothèse nulle et le pourcentage commun

L'hypothèse nulle affirme que les deux groupes proviennent de populations de même proportion : le traitement ne change rien.

H_0 : p_1 = p_2

Sous cette hypothèse, il n'existe qu'une seule vraie proportion commune. La meilleure estimation consiste à fusionner les deux groupes : c'est le pourcentage commun $p_c$ , calculé sur l'ensemble des guérisons et des sujets.

p_c = \dfrac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \dfrac{60 + 36}{200 + 200} = \dfrac{96}{400} = 0{,}24

L'idée est fine : puisque $H_0$ dit que les deux groupes sont identiques, on estime leur proportion commune sur toutes les données, ce qui donne un chiffre plus stable que chaque groupe pris isolément.

03 · L'écart-réduit de la différence

On mesure la différence $f_1 - f_2$ en nombre d'écarts-types, comme toujours. L'écart-type d'une différence de deux fréquences indépendantes combine les variabilités des deux groupes ; sous $H_0$ , on y injecte le pourcentage commun :

z = \dfrac{f_1 - f_2}{\sqrt{p_c(1-p_c)\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}}

Le terme $\left(\tfrac{1}{n_1} + \tfrac{1}{n_2}\right)$ traduit une règle intuitive : c'est le plus petit groupe qui pèse le plus sur l'imprécision. Application :

\sqrt{0{,}24 \times 0{,}76 \times \left(\tfrac{1}{200} + \tfrac{1}{200}\right)} = \sqrt{0{,}1824 \times 0{,}01} = \sqrt{0{,}001824} \approx 0{,}0427

z = \dfrac{0{,}30 - 0{,}18}{0{,}0427} \approx 2{,}81

Comme $2{,}81 > 1{,}96$ , la différence est significative au seuil de 5 % (degré de signification $p \approx 0{,}005$ ). La supériorité du traitement ne s'explique pas commodément par le seul hasard.

04 · Différence significative n'est pas différence importante

Il est d'ailleurs utile de donner l'intervalle de confiance de la différence elle-même. Ici, la différence vaut 12 points ; son erreur-standard (estimée sans $H_0$ , à partir de chaque $f$ ) permet de l'encadrer, par exemple autour de $[4%,;,20%]$ . Cet intervalle exclut 0, ce qui rejoint la conclusion du test.

05 · Conditions d'emploi

La méthode par l'écart-réduit repose, comme au chapitre A-1, sur l'approximation normale. Elle exige des effectifs attendus suffisants : en pratique, chacune des cases (guéris et non-guéris, dans chaque groupe) doit correspondre à un effectif attendu supérieur à 5.

Quand ce n'est pas le cas — petits essais, événements rares — cet écart-réduit devient trompeur, et l'on se tournera vers le test exact de Fisher (A-8). Nous verrons aussi (A-7) que comparer deux pourcentages par cet écart-réduit revient exactement au test du χ² sur un tableau 2 × 2 : $z^2 = \chi^2$ .

06 · À retenir

Comparer deux pourcentages observés, c'est tester $H_0 : p_1 = p_2$ à partir de la différence $f_1 - f_2$ .
Sous $H_0$ , on estime une proportion commune $p_c = (x_1 + x_2)/(n_1 + n_2)$ .
L'écart-réduit vaut $z = (f_1 - f_2)/\sqrt{p_c(1-p_c)(1/n_1 + 1/n_2)}$ ; le terme $1/n_1 + 1/n_2$ montre que le petit groupe commande la précision.
On rejette $H_0$ si $|z| > 1{,}96$ ; « significatif » qualifie la réalité de l'écart, pas son importance clinique.
Conditions : effectifs attendus > 5 dans chaque case ; sinon, test exact de Fisher.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Sous H0 (les deux groupes ont la même proportion), quelle valeur utilise-t-on pour calculer l'écart-type de la différence ?

Q2. Deux groupes de tailles n1 et n2. L'erreur-standard de la différence fait intervenir le terme :

Q3. On compare 30 % (traité) à 18 % (placebo) et l'on trouve z = 2,8. On conclut :

Comparaison de deux pourcentages observés

Comparer deux pourcentages observés, c'est tester $H_0 : p_1 = p_2$ à partir de la différence $f_1 - f_2$ .
Sous $H_0$ , on estime une proportion commune $p_c = (x_1 + x_2)/(n_1 + n_2)$ .
L'écart-réduit vaut $z = (f_1 - f_2)/\sqrt{p_c(1-p_c)(1/n_1 + 1/n_2)}$ ; le terme $1/n_1 + 1/n_2$ montre que le petit groupe commande la précision.
On rejette $H_0$ si $|z| > 1{,}96$ ; « significatif » qualifie la réalité de l'écart, pas son importance clinique.
Conditions : effectifs attendus > 5 dans chaque case ; sinon, test exact de Fisher.