Précision d'un pourcentage : l'intervalle de confiance

01 · Renverser la question du test

Les chapitres précédents partaient d'une proportion vraie connue ( $p$ ou $p_0$ ) pour prévoir les fluctuations de $f$ . En pratique, c'est l'inverse : on observe $f$ et l'on ignore $p$ .

Un exemple. Un service teste la tolérance d'un nouveau médicament : sur 300 patients, 45 signalent un effet indésirable, soit $f = 0{,}15$ , c'est-à-dire 15 %.

Annoncer « 15 % » tout court serait malhonnête : ce chiffre repose sur un échantillon et aurait été un peu différent avec 300 autres patients. La vraie question n'est pas « combien exactement ? » mais « dans quelle fourchette se trouve raisonnablement la vraie proportion ? ». Cette fourchette est l'intervalle de confiance.

02 · Construire l'intervalle à 95 %

Le raisonnement reprend l'écart-réduit. On sait que $f$ tombe à moins de 1,96 écart-type de $p$ dans 95 % des échantillons. En renversant cette phrase, on encadre $p$ autour de $f$ . Comme on ne connaît pas $p$ , on estime l'écart-type avec la fréquence observée elle-même :

\text{IC}_{95\%} = f \pm 1{,}96 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}

La quantité $\sqrt{f(1-f)/n}$ est l'erreur-standard estimée ; le facteur 1,96 fixe le niveau de confiance à 95 %.

Sur nos 300 patients :

\sqrt{\dfrac{0{,}15 \times 0{,}85}{300}} = \sqrt{0{,}000425} \approx 0{,}0206

1{,}96 \times 0{,}0206 \approx 0{,}040

\text{IC}_{95\%} = 0{,}15 \pm 0{,}040 = [\,0{,}11\ ;\ 0{,}19\,]

La vraie fréquence d'effets indésirables se situe vraisemblablement entre 11 % et 19 %. La demi-largeur, 4 points, est la précision de l'estimation.

03 · Ce que l'intervalle veut (et ne veut pas) dire

L'interprétation correcte porte sur la méthode, pas sur un intervalle unique : « si l'on répétait l'étude un grand nombre de fois, 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie proportion $p$ ».

04 · Lien avec le test, et rôle de la largeur

Intervalle de confiance et test disent presque la même chose sous deux angles. En règle générale, si une valeur théorique $p_0$ tombe en dehors de l'IC à 95 %, le test bilatéral de « $p = p_0$ » est significatif à 5 % — et réciproquement. L'équivalence n'est toutefois pas exacte pour un pourcentage : l'IC estime l'erreur-standard sur la fréquence observée $f$ , alors que le test l'estime sous $H_0$ sur $p_0$ . Au voisinage d'une borne, les deux peuvent donc diverger.

Ainsi, notre IC $[11%,;,19%]$ exclut par exemple 8 % : comparer nos 15 % à une référence de 8 % donnerait un test significatif. Il inclut en revanche 13 % : une référence de 13 % serait compatible avec nos données.

La largeur de l'intervalle mesure la précision, et elle dépend de $n$ sous la racine. Pour diviser la largeur par deux, il faut quadrupler l'effectif : la précision se paie cher.

05 · Combien de sujets pour la précision voulue ?

On peut retourner la formule avant l'étude pour dimensionner l'échantillon. Si l'on vise une demi-largeur $i$ (précision souhaitée) autour d'une proportion attendue $f$ :

n = \dfrac{1{,}96^2 \; f\,(1-f)}{i^2}

Supposons que l'on veuille estimer notre taux d'effets indésirables (attendu autour de 15 %) à ± 3 points près ( $i = 0{,}03$ ) :

n = \dfrac{1{,}96^2 \times 0{,}15 \times 0{,}85}{0{,}03^2} = \dfrac{3{,}84 \times 0{,}1275}{0{,}0009} \approx 544

Il faudrait environ 545 patients. Quand on n'a aucune idée de $f$ , on prend le cas le plus défavorable $f = 0{,}5$ (qui maximise $f(1-f)$ ), ce qui gonfle l'effectif requis.

06 · À retenir

Un pourcentage observé s'accompagne toujours de son intervalle de confiance : $f \pm 1{,}96\sqrt{f(1-f)/n}$ .
L'IC à 95 % encadre la vraie proportion ; l'interprétation porte sur la méthode : 95 % des intervalles ainsi construits contiennent $p$ .
Il ne décrit ni la dispersion des individus, ni une probabilité attachée à l'intervalle une fois calculé.
IC et test sont deux faces d'une même pièce : $p_0$ hors de l'IC ≈ test significatif à 5 % (équivalence non exacte pour un pourcentage — voir plus haut).
Diviser la largeur par 2 exige de quadrupler $n$ ; on dimensionne l'étude avec $n = 1{,}96^2 f(1-f)/i^2$ .

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. L'intervalle de confiance à 95 % d'un pourcentage f observé sur n sujets est environ :

Q2. Un IC à 95 % de [11 % ; 19 %] signifie que :

Q3. Pour diviser par deux la largeur d'un intervalle de confiance, il faut environ :