Fluctuations d'échantillonnage d'un pourcentage : l'écart-réduit

01 · Une même population, des échantillons qui dansent

Imaginez une immense population de bactéries dont exactement 20 % résistent à un antibiotique. Ce chiffre, 20 %, est une vérité fixe de la population : on l'appelle $p$ .

Vous ne pouvez pas examiner toutes les bactéries. Vous prélevez donc un échantillon, disons 400 colonies, et vous comptez celles qui résistent. Vous trouvez peut-être 78 résistantes, soit 19,5 %. Un collègue refait la même expérience et trouve 85 résistantes, soit 21,25 %. Un troisième trouve 76, soit 19 %.

Aucun ne s'est trompé. Chacun a simplement tiré un échantillon parmi une infinité d'échantillons possibles. La fréquence observée $f$ change d'un tirage à l'autre : elle fluctue autour de la vraie valeur $p$ . C'est la fluctuation d'échantillonnage.

La question de tout ce chapitre est simple : de combien $f$ a-t-elle le droit de s'écarter de $p$ par le seul jeu du hasard ?

02 · L'écart-type d'une fréquence

La théorie donne une réponse remarquablement nette. Si l'on répétait le tirage un très grand nombre de fois, les fréquences observées se répartiraient autour de $p$ avec un écart-type :

\sigma_f = \sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}

Deux enseignements y sont cachés.

D'abord, plus l'échantillon est grand, plus $f$ colle à $p$ : $n$ est au dénominateur, sous la racine. Quadrupler $n$ divise l'écart-type par 2 — il faut donc quatre fois plus de sujets pour être deux fois plus précis.

Ensuite, la dispersion dépend de $p$ lui-même : elle est maximale autour de $p = 0{,}5$ et se resserre vers les valeurs extrêmes.

Reprenons nos bactéries : $p = 0{,}20$ et $n = 400$ .

\sigma_f = \sqrt{\dfrac{0{,}20 \times 0{,}80}{400}} = \sqrt{0{,}0004} = 0{,}02

L'écart-type vaut donc 2 points de pourcentage. Les fréquences observées se serrent autour de 20 %, la plupart entre 16 % et 24 %.

03 · L'écart-réduit : compter en écarts-types

Un écart de « 3 points de pourcentage » est-il beaucoup ? Impossible de répondre dans l'absolu : tout dépend de l'écart-type. La bonne idée est de mesurer l'écart en nombre d'écarts-types. C'est l'écart-réduit, noté $z$ :

z = \dfrac{f - p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}

Le numérateur est l'écart brut $f - p$ ; le dénominateur est l'unité de mesure naturelle de cet écart. Le résultat est un nombre sans dimension : « $f$ est à $z$ écarts-types de $p$ ».

Sur nos bactéries, supposons un laboratoire qui observe $f = 0{,}25$ (100 résistantes sur 400) :

z = \dfrac{0{,}25 - 0{,}20}{0{,}02} = 2{,}5

La fréquence observée est à 2,5 écarts-types au-dessus de la valeur attendue. Le graphique traduit cet écart-réduit sur la courbe des fluctuations possibles.

04 · D'où vient le fameux 1,96 ?

Dès que $n$ est un peu grand, l'écart-réduit $z$ suit approximativement une loi normale centrée sur 0, d'écart-type 1. Le nombre 1,96 n'a alors rien d'arbitraire : on peut le retrouver pas à pas.

1. L'aire sous la cloche vaut 1, soit 100 % des tirages possibles. Chaque tranche d'aire est une probabilité.

2. On veut encadrer les 95 % de tirages les plus banals. Il faut donc laisser 5 % de côté — les plus extrêmes. Comme la cloche est symétrique, on partage ces 5 % en deux queues égales : 2,5 % à droite et 2,5 % à gauche.

3. On lit dans la table de la loi normale la valeur qui laisse exactement 2,5 % au-delà d'elle : c'est 1,96. Par symétrie, 2,5 % se trouvent aussi en dessous de $-1{,}96$ . Entre les deux : $100 - 2{,}5 - 2{,}5 = 95\ %$ . Voilà le nombre.

C'est pourquoi « 95 % de confiance » et « risque de 5 % » sont les deux faces d'une même pièce : les 5 % abandonnés dans les queues sont précisément le risque de prendre une simple fluctuation pour un vrai écart. Le 1,96 n'est donc que le repère du niveau 95 %. Exigez une autre garantie, et il change :

Niveau de confiance	Risque toléré (bilatéral)	Valeur seuil
90 %	10 %	1,64
95 %	5 %	1,96
99 %	1 %	2,58

Plus on veut être sûr de ne pas se tromper, plus on doit élargir l'intervalle : le seuil grimpe. Vous pouvez le vérifier sur le schéma du chapitre B‑1 (loi normale) en amenant les bornes à $\pm 1{,}96$ : l'aire hachurée affiche bien 95 %.

Conséquence : si $f$ n'est qu'une fluctuation autour de $p$ , son écart-réduit ne dépasse 1,96 en valeur absolue qu'une fois sur vingt. Nos $z = 2{,}5$ franchit ce repère : l'écart entre 25 % et 20 % est difficile à mettre sur le seul compte du hasard — c'est exactement ce raisonnement que le chapitre suivant transformera en test.

05 · Le piège du petit échantillon

Autre confusion fréquente : ne pas mélanger l'écart-type de la fréquence, $\sqrt{p(1-p)/n}$ , avec l'écart-type des individus. Ici chaque bactérie ne prend que deux états (résistante ou non) ; ce qui nous intéresse est la dispersion de la fréquence, pas celle d'une mesure continue.

06 · À retenir

Une fréquence observée $f$ fluctue autour de la vraie proportion $p$ ; c'est la fluctuation d'échantillonnage, pas une erreur.
L'écart-type de $f$ vaut $\sqrt{p(1-p)/n}$ : la précision augmente comme $\sqrt{n}$ (quatre fois plus de sujets pour deux fois plus de précision).
L'écart-réduit $z = (f - p)/\sqrt{p(1-p)/n}$ exprime l'écart en nombre d'écarts-types.
$z$ suit approximativement une loi normale ; 95 % des fluctuations tiennent entre −1,96 et +1,96.
Un $|z| > 1{,}96$ signale un écart peu compatible avec le seul hasard — à condition que $np$ et $n(1-p)$ dépassent 5.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Pour une proportion vraie p et un échantillon de taille n, l'écart-type de la fréquence observée f vaut :

Q2. On calcule un écart-réduit z = 2,6. Au repère habituel de 1,96, on retient l'idée que :

Q3. Si l'on multiplie la taille de l'échantillon par 4, l'écart-type de f est :

Exercices d'application

Dans une population, la prévalence vraie d'un caractère est p = 0,20. Sur un échantillon de n = 100 sujets, quel est l'écart-type de la fréquence observée ?