Notions transversales

La demi-vie : une seule loi, plusieurs disciplines

Racym Berrah, PharmD Internat Pharma Dernière révision : 9 juillet 2026 ORCID

Décroissance exponentielle en radioactivité, en cinétique chimique et en pharmacocinétique — la même formule.

01 · Pourquoi ce chapitre

Radioactivité, cinétique chimique, pharmacocinétique : trois cours différents, une seule mathématique. Dès qu'une quantité disparaît à une vitesse proportionnelle à ce qui reste, on obtient une décroissance exponentielle et une demi-vie.

Comprendre cette loi une fois, c'est la reconnaître partout — et gagner du temps à l'internat.

02 · La loi commune

Si la vitesse de disparition est proportionnelle à la quantité présente ( $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ ), alors :

N(t) = N_0\, e^{-\lambda t}, \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}693}{\lambda}

03 · La même chose, trois fois

Biophysique / radioactivité : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ , $\lambda$ = constante radioactive, période $T = \ln 2/\lambda$ . L'activité $A = \lambda N$ décroît de la même façon.
Cinétique chimique (ordre 1) : $[A] = [A_0] e^{-kt}$ , $k$ = constante de vitesse. Le temps de demi-réaction $t_{1/2} = \ln 2/k$ est indépendant de la concentration initiale (signature de l'ordre 1).
Pharmacocinétique : $C = C_0 e^{-k_e t}$ , avec $k_e = CL/V$ . D'où $t_{1/2} = \ln 2 \cdot V / CL$ .

04 · À quoi ça sert

Radioactivité : dater (carbone 14), choisir un radiopharmaceutique (période adaptée à l'examen), gérer la radioprotection (décroissance des déchets).
PK : prévoir le temps pour atteindre l'état d'équilibre (~5 t½) ou pour éliminer un médicament (~5 t½), et fixer l'intervalle entre deux prises. Une dose de charge permet d'atteindre d'emblée le plateau sans attendre ces ~5 demi-vies.

05 · Piège classique

06 · À retenir

Décroissance exponentielle ⇔ vitesse proportionnelle à ce qui reste : $N = N_0 e^{-\lambda t}$ .
$t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$ , indépendante de la quantité initiale (ordre 1).
Radioactivité (période), chimie ( $k$ ), PK ( $k_e = CL/V$ ) : la même loi.
~5 demi-vies pour atteindre le plateau ou éliminer un produit.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. La demi-vie d'un phénomène de décroissance exponentielle vaut…

Q2. Après 5 demi-vies, il reste environ…

Q3. En pharmacocinétique, la constante d'élimination ke est reliée à la demi-vie par…