Tests de liaison : régression, corrélation et chi-deux

01 · Pourquoi ce chapitre

Deux variables sont-elles liées ? La réponse dépend de leur nature : deux variables quantitatives appellent corrélation et régression ; deux variables qualitatives, le test du chi-deux. Trois outils, une même question de liaison.

02 · Correlation lineaire

Le coefficient de corrélation de Pearson $r$ mesure l'intensité de la liaison linéaire entre deux variables quantitatives :

r = \frac{\text{cov}(x,y)}{s_x\,s_y}, \qquad -1 \leq r \leq 1

$r$ proche de $\pm 1$ : liaison linéaire forte ; $r \approx 0$ : pas de liaison linéaire.
Le signe donne le sens (croissante ou décroissante).
Un test permet de juger si $r$ diffère significativement de 0.
Liaison monotone non linéaire ou variables ordinales → corrélation des rangs de Spearman (non paramétrique).

03 · Regression lineaire

La régression ajuste la droite $y = a x + b$ par la méthode des moindres carrés (minimise la somme des carrés des résidus). La pente $a$ quantifie la variation de $y$ par unité de $x$ .

04 · Test du chi-deux

Pour deux variables qualitatives, on croise les effectifs dans un tableau de contingence et on compare effectifs observés $O$ et théoriques $E$ (attendus sous H0 d'indépendance) :

\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}, \qquad ddl = (l-1)(c-1)

On rejette l'indépendance si $\chi^2$ calculé dépasse le quantile de la table.

05 · Piege classique

06 · À retenir

Quanti/quanti → corrélation ( $r \in [-1;1]$ ) et régression ( $y = ax+b$ , moindres carrés).
$r^2$ = part de variance expliquée.
Quali/quali → chi-deux : $\chi^2 = \sum (O-E)^2/E$ , $ddl = (l-1)(c-1)$ , $E \geq 5$ .
Corrélation ≠ causalité ; $r$ ne voit que le linéaire.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. Le coefficient de corrélation de Pearson r…

Q2. Le nombre de degrés de liberté d'un test du chi-deux d'indépendance sur un tableau l × c est…

Q3. La statistique du chi-deux se calcule par…

Annales du concours sur ce thème

4 questions tombées au concours, portant sur ce chapitre. Voir toutes les annales →

QCM n°41 Décembre 2025

Parmi les propositions suivantes, relatives à la régression linéaire de Y en fonction de X, laquelle (lesquelles) est (sont) exacte(s) ?

ALes pentes des droites de régression de Y en fonction de X et de X en fonction de Y sont toujours égales
BOn appelle résidu d’un couple de valeur (x i y i ) la différence entre la valeur observée y i de Y et la valeur ajustée sur la droite de régression pour la valeur x i de X
CLa variance résiduelle correspond aussi à la variance de Y lorsqu’on maintient la variable X constante
DAvant de faire un test de pente nulle, il est préférable d’avoir visualisé le nuage de points
ELe coefficient de corrélation linéaire peut être utilisé pour comparer à zéro l’ordonnée à l’origine de la droite de régression

QCM n°2 Décembre 2017

Dans un essai thérapeutique sur l'eczéma, 40 personnes ont été réparties par tirage au sort en 2 groupes de 20. Chaque groupe reçoit un traitement différent. L'évolution de la maladie est répartie en 3 catégories : aggravation ou état stationnaire ou amélioration. On veut comparer l'efficacité des 2 traitements en prenant en compte pour chaque traitement les effectifs de patients classés dans les 3 catégories d'évolution de la maladie. Parmi les propositions suivantes, laquelle est exacte ?

AIl s'agit de séries appariées
BUn test de corrélation peut être réalisé
CUn test fondé sur l'emploi de la loi de Student (t) peut être réalisé
DUn test de comparaison des variances peut être réalisé
EUn test de Khi2 peut être réalisé

QCM n°22 Décembre 2017

Parmi les propositions suivantes concernant la corrélation, quelle(s) est (sont) la (les) proposition(s) exacte(s) ?

AUn coefficient de corrélation linéaire est toujours compris entre 0 et 1
BSi 2 variables quantitatives varient indépendamment, leur coefficient de corrélation linéaire est nul
CUn coefficient de corrélation permet de tester l'existence d'une relation entre 2 variables quantitatives à l'aide d'un test du Khi2
DSi le coefficient de corrélation linéaire calculé entre 2 variables quantitatives est égal à +1, ces 2 variables varient dans le même sens
ELe coefficient de corrélation linéaire peut servir à étudier la relation entre glycémie à jeun et groupe sanguin

QCM n°19 Décembre 2013

Parmi les propositions suivantes, donner celle(s) qui est(sont) vraie(s) ?

ALe test de "corrélation linéaire" et le test "de la pente" conduisent à la même conclusion
BLes tests de corrélation réalisés en considérant y = f(x) et x = f(y) conduisent à la même conclusion
CLorsque le nombre de degrés de liberté est égal à 1, pour une même valeur du risque alpha, la valeur de la variable normale centrée réduite z alpha est égale à khi2
DLa variance d'une différence est égale à la différence des variances
EUn coefficient de corrélation est un coefficient sans unité