Statistique descriptive : estimation et intervalle de confiance

01 · Pourquoi ce chapitre

On ne mesure jamais une population entière : on travaille sur un échantillon pour estimer un paramètre inconnu (moyenne, proportion). Encore faut-il chiffrer l'incertitude de cette estimation — c'est le rôle de l'intervalle de confiance.

02 · Decrire un echantillon

Position : moyenne $\bar{x}$ , médiane (robuste aux valeurs extrêmes), mode.
Dispersion : variance $s^2$ et écart-type $s$ ; étendue ; coefficient de variation $CV = s/\bar{x}$ .

03 · Estimation ponctuelle

Un estimateur est une variable aléatoire calculée sur l'échantillon qui approche le paramètre de population :

moyenne d'échantillon $\bar{x}$ → estime la moyenne $\mu$ ;
fréquence $p = k/n$ → estime la proportion $\pi$ .

Un bon estimateur est sans biais (espérance égale au paramètre) et convergent (précision croissante avec $n$ ).

04 · Intervalle de confiance

L'IC à 95 % encadre le paramètre avec 95 % de confiance.

Moyenne, grand échantillon : $\bar{x} \pm z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (avec $z_{0{,}05} = 1{,}96$ ). Petit échantillon et $\sigma$ inconnue : loi de Student ( $t$ ) à $n-1$ ddl.
Proportion : $p \pm z_{\alpha}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ , valable si $np > 5$ et $n(1-p) > 5$ .

Le théorème central limite justifie l'approximation normale de la moyenne pour $n$ grand, même si la variable étudiée n'est pas normale.

05 · Piege classique

06 · À retenir

Décrire : position ( $\bar{x}$ , médiane) et dispersion ( $s$ , $s^2$ en $n-1$ ).
IC moyenne : $\bar{x} \pm z,\sigma/\sqrt{n}$ (Student si petit $n$ ).
IC proportion : $p \pm z\sqrt{p(1-p)/n}$ , si $np>5$ et $n(1-p)>5$ .
Précision en $\sqrt{n}$ : ×4 l'effectif pour ÷2 la largeur.

QCM · épreuve 1

QCM

Q1. L'intervalle de confiance d'une moyenne (grand échantillon) a pour demi-largeur…

Q2. Quand n augmente, l'intervalle de confiance d'un paramètre…

Q3. L'estimation par intervalle de confiance d'une proportion suppose notamment que…

Exercices d'application · épreuve 2

Moyenne 50, écart-type 10, n = 100. Quelle est la demi-largeur de l'intervalle de confiance à 95 % de la moyenne (z = 1,96) ?

Annales du concours sur ce thème

4 questions tombées au concours, portant sur ce chapitre. Voir toutes les annales →

QCM n°9 Décembre 2021

Parmi les propositions concernant l'intervalle de confiance IC 1-alpha d'une moyenne calculée à partir d'un échantillon de n valeurs, laquelle est exacte ?

AIl est plus large quand la valeur du risque alpha augmente
BIl est plus large quand la taille de la population diminue
CII est plus large quand la taille n de l'échantillon diminue
DIl s'exprime dans la même unité que la variance de la moyenne
EIl n'est jamais soumis à condition d'application

Exercice n°1 Décembre 2020

Lorsque le risque n'est pas précisé, vous prendrez un risque α de 5 %. On effectue le dosage du principe actif dans la solution mère. On réalise 10 mesures et on obtient les résultats suivants (en g/L) : 104 98 102 102 100 100 96 98 100 100 N.B. : toutes les questions sont indépendantes. · Questions : 1) Calculer dans cette série, la teneur moyenne en principe actif et son intervalle de confiance à 95 %. A quelle(s) condition(s) la formule appliquée est-elle valide ? 2) La solution de référence a une teneur en principe actif de 101 g/L. Comparer la teneur moyenne observée dans cet échantillon à cette valeur de référence. 3) A partir de la solution mère précédente, on prépare deux solutions filles par dilution au dixième. On réalise 10 mesures de chaque solution fille et on obtient les résultats suivants (en g/L) : Soluti 4) Afin de faire une gamme d'étalonnage, la deuxième solution fille est diluée pour obtenir les concentrations théoriques rapportées dans le tableau ci-dessous. 61 2019_EXO_R La deuxième ligne de ce tabl

Sujet complet et corrigé officiel → cng.sante.fr/annales

QCM n°51 Décembre 2018

On considère que : - la valeur de la variable normale centrée réduite Zα prend la valeur 2 pour α = 0,05 ; - la concentration sérique d'une substance suit une loi normale de moyenne μ = 100 UI/L et d'écart type σ = 10 UI/L. Parmi les propositions suivantes, laquelle (lesquelles) est (sont) exacte(s) ?

A50 % des sujets de cette population ont une concentration sérique de cette substance supérieure à 50 UI/L
B25 % des sujets de cette population ont une concentration sérique de cette substance inférieure à 120 UI/L
CLa médiane de cette distribution est de 100 UI/L
DPlus de 10 % des sujets ont une concentration de cette substance supérieure à 90 UI/L
EEnviron 95 % des sujets de cette population ont une concentration de cette substance comprise entre 80 et 120 UI/L

QCM n°40 Décembre 2014

La concentration plasmatique X d'un biomarqueur clinique a été mesurée chez 100 sujets. Les résultats en mg/L sont les suivants : moyenne 80 ; médiane 66 ; écart-type 55 1er quartile 38 ; 3ème quartile 107 ; Mode 42 Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

A25 % des valeurs de X sont inférieurs à 38
BLes paramètres caractéristiques de cette distribution sont en faveur d'une distribution normale
C50 % des valeurs de X sont supérieures à 80
DLa valeur maximale de X est 66
EL'écart-type de la moyenne de X est égal à 5,5